Monotonie dieser Funktion?

29.12.2014, 21:42

blau

Monotonie dieser Funktion?

Guten Abend,

gegeben ist folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}], k\in \mathbb N ( \end{eqnarray*}$
mit f(0)=0.

Ich soll zunächst zeigen, dass f auf [0,1] monoton wachsend ist. Die Aufgabe geht noch weiter, aber ich habe hier bereits Probleme:

Ich gehe mal davon aus, dass bei dieser Aufgabenstellung ein Fehler in der Bezeichnung f(x) liegt? (f(k) doch wohl eher).

Wie soll ich zeigen, dass diese Funktion monoton wachsend ist, wenn die Ableitung nie positiv ist?
Ist das ebenfalls ein Schreibfehler?

Dankeschön

29.12.2014, 22:32

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RE: Monotonie dieser Funktion?
Es kann auch bedeuten, dass die Funktion f abschnittsweise konstant sein soll.
Dann ist die Ableitung - wenn sie denn überhaupt existiert - Null.
Folgende Idee für die Monotonie: Zu jedem $\begin{eqnarray*} 0<s\leq 1 \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} < s \leq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

29.12.2014, 23:00

blau

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Die Funktion ist aber doch in keinem Abschnitt konstant. Und schon garnicht im Intervall [0,1].
Nächste Teilaufgabe ist übrigens dann, die Funktion auf [0,1] mit geeigneten Treppenfunktionen zu approximieren.
Ich überlege noch, ob ich deine Idee nachvollziehen kann.
Sie soll zeigen, dass kein Funktionswert doppelt vorkommt, weil es immer nur genau ein k gibt? Und damit eine nicht-strenge Monotonie gegeben ist?
Führt man das noch aus?

29.12.2014, 23:04

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Zitat:

Die Funktion ist aber doch in keinem Abschnitt konstant

sagt wer?
So wie die Funktion gegeben ist, ist sie abschnittsweise konstant.,
Und dann gibt es natürlich keine strenge Monotonie

29.12.2014, 23:10

blau

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Ich verstehe leider nicht, wieso diese Funktion abschnittsweise konstant ist bzw. in welchem Abschnitt das sein soll. Wo wäre das und woran erkennt man's?

29.12.2014, 23:14

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Das steht doch so da
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}], k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
In Worten: Der Funktionswert ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ auf dem ganzen Intervall $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}] \end{eqnarray*}$

29.12.2014, 23:36

blau

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Achso, dann habe ich jetzt erst die Funktion verstanden. Jetzt macht das auch mit dem f(x) wieder Sinn. Die Funktion ist also auf dem Intervall nicht von x abhängig, sondern Konstant (mit beliebigem k aus N).

Wie führe ich deine Idee nun weiter?
Entschuldige bitte, aber mein Kopf scheint heute schon etwas müde.
Sehe eben zum ersten mal eine Funktion dieser Art.

30.12.2014, 00:17

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Dann versuch erst mal die Idee zu verstehen. Im Zweifel hilft eine Skizze.
Dann überleg dir, das mit wachsendem s das zugehörige k kleiner wird.

06.01.2015, 20:49

blau

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Sorry für die Recht späte Antwort.
Deine Ungleichung intepretiere ich nun so, dass sie mir hilft zu zeigen, dass die Funktion auf dem Intervall von [0,1] (auch) immer innerhalb des Intervalles $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}] \end{eqnarray*}$ liegt und somit immer den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ hat. Da auch gilt, dass f(0)=0 ist, ist die Funktion auf dem Intervall [0,1] monoton steigend.

Reicht das? Muss ich die Ungleichung gesondert beweisen? Mit Induktion könnte ich zeigen, dass es für alle k aus N gilt, aber damit ist nicht gezeigt, dass es immer nur ein spezielles k gibt.

Für die Approximation durch Treppenfunktionen habe ich mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei} \ f(x)= \frac{1}{k}+\frac{1}{k+1} \ \text{und} \ b= \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \\ \text{dann gilt für das Integral von f auf [0,1]:} \\ \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1})*\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} = \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{(1+k)^{2}} ) \end{eqnarray*}$

Ist dies korrekt?
LG

06.01.2015, 22:39

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Ich habe den Eindruck, du hast die Funktion noch nicht ganz verstanden.
Welchen Wert hat f an der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ ? Welchen Wert hat f an der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{5}{12} \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2015, 00:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von blau
$\begin{eqnarray*} \text{dann gilt für das Integral von f auf [0,1]:} \\ \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1})*\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} = \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{(1+k)^{2}} ) \end{eqnarray*}$

Ist dies korrekt?

Wenn du ganz links nicht ein Klammerpaar vergessen hättest, wäre es korrekt gewesen:

$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)\cdot \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right) = \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{(1+k)^2} \right) \end{align*}$ .

Und natürlich sollte man die Summe rechts nicht so stehen lassen, wo doch da ein sehr einfacher Wert herauskommt.

07.01.2015, 00:32

blau

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Zitat:

Original von URL
Ich habe den Eindruck, du hast die Funktion noch nicht ganz verstanden.
Welchen Wert hat f an der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ ? Welchen Wert hat f an der Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{5}{12} \end{eqnarray*}$ ?

Ich dachte da jetzt an
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}+\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$ .
Je nachdem, wie ich mein k wähle, bestimme ich das Intervall sowie die Funktionswert.

Wähle ich z.B. k=2, dann betrachte ich das Intervall (1/3 , 1/2] und der Wert an diesen Stellen ist 1/3 + 1/2 = 5/6.

Um die Stelle 3/4 zu betrachten, mache ich nun was?

@ HAL 9000:

Dankeschön, die Klammer steht natürlich bei mir auf dem Zettel.
Welch einfacher Wert kommt denn da raus?

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi^{2}}{6} - \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(1+k)^{2}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie man die zweite Summe noch vereinfachen könnte und leider ebenso wenig, was es mir helfen würde, beide Summanden hier auf einen Nenner zu bringen. Kommt zumindest auch nichts schöneres raus bei mir.

LG

08.01.2015, 11:30

HAL 9000

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Auwei, du denkst viel zu kompliziert. Das ist eine einfache Teleskopreihe:

$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{(1+k)^2} \right) = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^2} -+ \ldots = 1 \end{align*}$ .

10.01.2015, 12:23

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Um für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, musst du zunächst das eindeutig bestimmte $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden,
für das $\begin{eqnarray*} x\in (\frac{1}{k+1}, \frac{1}{k}] \end{eqnarray*}$ gilt.
Damit ist dann $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

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