Injektiv, Surjektiv, Bijektiv?

30.12.2014, 14:41

hamid_m

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv?

Hallo Leute,

die Frage habe ich als Anhang hochgeladen smile

i) habe ich ehrlich gesagt nicht verstanden. Sollen das 2 Funktionen sein?

ii) Ist eine Abbildung, da zu jedem x aus Q genau ein y aus Q zugeordnet wird.
Es gilt: für alle x aus Q existiert genau ein y aus Q sodass (x,y) aus g

Dazu habe ich eine Wertetabelle gemacht, um zu verdeutlichen, dass es sich um eine Funktion handelt!

Injektivität: für alle x,y aus Q (x ungleich y --> g(x) ungleich g(y))

Die Abbildung ist injektiv, da z.B. g(-5/8) ungleich g(5/8) ist.

Surjektivität: g(Q)=Q, d.h. für alle y aus Q existiert mindestens ein x aus Q g(x)=y

g ist surjektiv da z.B. g(1/34)=1/17 und g(-1/34)=-1/17 ist.

iii) Ist eine Abbildung, da zu jedem x aus N genau ein y aus N zugeordnet wird.
Es gilt: für alle x aus N existiert genau ein y aus N sodass (x,y) aus h

Hier habe ich zusätzlich zu einer Wertetabelle noch eine Skizze angefertigt.

Injektivität: für alle x,y aus N (x ungleich y --> h(x) ungleich h(y))

Die Abbildung ist injektiv, da z.B. h(1) ungleich g(2) ist.

Surjektivität: h(N)=N, d.h. für alle y aus N existiert mindestens ein x aus N h(x)=y

h ist surjektiv da z.B. h(5)=6 und h(2)=-1 ist.

sind ii) und iii) richtig so? verwirrt

30.12.2014, 15:18

bijektion

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i) Wieso denn zwei Funktionen?

ii) und iii) reicht so nicht, du musst es schon für alle Werte aus dem Definitions- bzw. Wertebereich zeigen Augenzwinkern

EDIT: So wie du ii) und iii) gemacht hast, wäre etwa $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto \begin{cases} 0 & x \neq a \\ a & x=a \end{cases} \end{eqnarray*}$ bijektiv, was sie aber offenbar nicht ist.

30.12.2014, 16:38

hamid_m

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Zitat:

Original von bijektion
i) Wieso denn zwei Funktionen?

Wie kann ich das dann verstehen?

ii) und iii) reicht so nicht, du musst es schon für alle Werte aus dem Definitions- bzw. Wertebereich zeigen Augenzwinkern

Wie kann ich mathematisch korrekt für alle Werte des Df und Wf zeigen, dass es sich z.B um eine injektive bzw. surjektive Funktion handelt?

02.01.2015, 10:09

bijektion

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i) Warum sollten das zwei Funktionen sein?

ii),iii) Als Beispiel betrachte ich ii). Sei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Dann musst du ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass $\begin{eqnarray*} g(x)=2x=y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$ .
Zur Injektivität betrachten wir $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$ und schauen uns $\begin{eqnarray*} g(x_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x_2) \end{eqnarray*}$ an.

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