Lineare Abbildungen, Kern, Bild

30.12.2014, 16:55

D2109

Lineare Abbildungen, Kern, Bild

Hallo liebe Helfer,

meine zu bearbeitende Aufgabe lautet:

a) Sei $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Vektorräumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass auch die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear ist.

b) Berechnen Sie Kern und Bild der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x_1, x_2, x_3) = (x_1+x_2+x_3, 2x_1+x_3) \end{eqnarray*}$ .

Für a) hätte ich die Idee, erstmal anzunehmen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht linear ist. Aber wie zeige ich das denn mit so allgemeinen Abbildungen?

Schon mal im Voraus vielen Dank für eure Hilfe smile

30.12.2014, 17:15

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Naaa, kein Grund, irgend etwas anzunehmen Augenzwinkern

Berechne $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(\lambda x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\lambda f^{-1}(x)) \end{eqnarray*}$

30.12.2014, 17:46

D2109

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Irgendwie hänge ich an der Berechnung von deinem Vorschlag... weil es mir so vorkommt, als könnte ich da einfach ein $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ dazwischensetzen. :/

Das ist jetzt meine Idee, geht das?

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (a \cdot f(v) + b \cdot f(w)) = f^{-1} (f(a \cdot v + b \cdot w)) = a \cdot v + b \cdot w = a \cdot f^{-1} (f(v)) + b \cdot f^{-1} (f(w)) \end{eqnarray*}$

Es gibt ja zwei Kriterien für die Linearität, nämlich $\begin{eqnarray*} f(v+w) = f(v) + f(w) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f( \lambda \cdot v) = \lambda \cdot f(v) \end{eqnarray*}$ und es scheint mir so, als ob hier beide auf einmal erfült wären... aber ich bin mir nicht ganz sicher...

30.12.2014, 17:54

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Das geht genauso. Man muss überlegen, dass man jedes $\begin{eqnarray*} y\in W \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ schreiben kann. Aber das ist hier natürlich klar.

30.12.2014, 17:58

D2109

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Okay, vielen Dank ! smile

Und nun zur b):

Wir haben das Thema Kern, Bild, Rang in den Vorlesungen schon grob behandelt, aber leider noch nicht genau, wie man sowas berechnet usw...
Hoffe, ihr könnt mir da Tipps geben, damit ich von allein auf die Lösung komme.

Viele Grüße :-)

30.12.2014, 18:20

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Der Kern von f ist die Menge aller Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=0 \end{eqnarray*}$
Wenn du das komponentenweise aufschreibst, bekommst du ein lineares Gleichungssystem.

30.12.2014, 22:13

D2109

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Ok, also homogenes LGS (da Nullvektor), also darstellende Matrix und Vektor mit 0 gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

... So richtig?

Alles, was vor dem Istgleichzeichen steht, muss ich doch mit normaler Matrizenmultiplikation erstmal in eine Matrix bringen, oder ? smile

30.12.2014, 22:22

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
GLS ist fast richtig, nur der Nullvektor auf rechten Seite hat die falsche Dimension.
Du kannst jetzt drauflos rechnen und den Kern bestimmen.

Du kannst aber auch erst darüber nachdenken, wie man das Bild bestimmt - und damit unter dem Strich Arbeit sparen.

30.12.2014, 23:18

D2109

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Also für das Bild hab ich jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3 \\ 2x_1+x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie man da jetzt weitergeht weiß ich leider nicht ... und wie bestimmt man denn nun das Bild ? Wie sieht die Lösung für das Bild denn aus? Das Bild ist eine Menge, für die das inhomogene LGS lösbar ist, das weiß ich aus den Vorlesungen..

beim Kern hab ich jetzt das:

(I) $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3 = 0 \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Aus (II) folgt:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{2}x_3 \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in (I):

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}x_3+x_2+x_3 = 0 ... \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2}x_3 \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich hier jetzt leider auch nicht .. unglücklich

30.12.2014, 23:28

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RE: Lineare Abbildungen, Kern, Bild
Mit dem Kern bist du doch schon fertig. $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ist ein freier Parameter, der Kern eindimensional.

Zitat:

Das Bild ist eine Menge, für die das inhomogene LGS lösbar ist, das weiß ich aus den Vorlesungen..

und das inhomogene Gleichungssystem löst man mit Gauß. Nach den üblichen Zeilenumformungen kann man ablesen, für welche $\begin{eqnarray*} y_1, y_2 \end{eqnarray*}$ das System lösbar ist - und hat das gesuchte Bild

Edit: Wenn du die Dimensionsformel für lineare Abbildungen kennst, kannst du dir die Rechnungen zum Bild übrigens sparen.

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