Lineares Gleichungssystem mit Parameter ohne Matrix

30.12.2014, 17:33

haaakla

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Lineares Gleichungssystem mit Parameter ohne Matrix

Meine Frage:
Hallo,

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

3x + 3y + (a-7)z = 9
3x + (8+a)y + (a-13)z = 15
-15x - (7-a)y + (25-4a)z = -36

sei a eine reelle Zahl

für welches a gibt es eine, keine oder undendlich viele Lösungen?

Habe mitbekommen dass man in so einem Fall mit der Matrizenrechnung vorgeht. Meine Frage aber; geht es auch ohne Matrizenrechnung? Bin beim Versuch es einfach aufzulösen jedoch auf keine sinnvolle Aussage gekommen.

Meine Ideen:

30.12.2014, 17:40

Mathema

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Dann zeig doch mal her deinen Versuch.

30.12.2014, 20:39

haaakla

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ok, daraus schließe ich dass es möglich ist und ich sicherlich einen fehler eingebaut habe. spart man sich viel zeit mit der matrizenrechnung ? (haben das thema nicht in der vorlesung durchgemacht)

31.12.2014, 14:27

Mathema

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Nun ja, wenn das Thema noch nicht in der Vorlesung behandelt wurde, ist es doch müßig zu spekulieren, welcher Weg der schnellere ist. Dann musst du dir eben anders helfen, sofern du dich nicht eigenständig damit befassen möchtest.

Da du ja aber anscheinend deine Rechnung nicht zeigen möchtest, belassen wir es wohl dabei.

Guten Rutsch!

Wink

Wink

31.12.2014, 15:04

haaakla

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ja erstmal danke für die antwort, wollte da jetzt nicht das ganze GLS reinschreiben, bin jedoch glaube ich auf die richtige Lösung gekommen. aber anderes beispiel:

- x - y + (t+2)z = -5
4x - (4t+8)y - (14+5t)z = 14
3x - ty - (7+3t)z = 13

(a) für welche werte von t besitzt dieses GLS (i) eine eindeutige lösung, (ii) unendlich viele lösungen und (iii) keine Lösung ?

bin durch umformen gekommen auf y*(t²+5t-6) = 12 +2t
die nullstellen der Klammer sind 1 und -6. daraus folgt:

Wenn t = 1, dann ergibt sich t*0=14, daher keine Lösung für das GLS

Wennt t = -6, dann ergibt sich 0 = 0, daher unendlich viele lösungen

Für alle anderen Werte gibt es dann eine eindeutige Lösung.

(b) Bestimme für den Fall (ii) die Lösungsmenge des GLS in abhängigkeit vom parameter t

(c) Für welche werte von t besitzt das zugehörige homogene GLS nur die triviale Lösung?

also es geht darum dass ich eine prüfung bei einem prof mache, dessen vorlesung ich nicht besucht habe (worin matrizen auch behandelt wurden), und in meiner regulären vorlesung haben wir keine matrizen behandelt.

daher möchte ich erstmal wissen wie ich dieses beispiel ohne matrizen lösen kann (b und c fehlt noch). ist ein häufiges prüfungsbeispiel hab ich mitbekommen

danke im voraus

31.12.2014, 15:40

Mathema

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Bleiben wir doch erstmal bei der Aufgabe b):

Hier rechnest du doch einfach ganz normal deine Variablen in Abhängigkeit vom Parameter aus.

Was hast du denn nun für die erste Aufgabe herausbekommen? Für a = 1 unendlich viele Lösungen und für a = -2 keine Lösung?

Wenn du dann auflöst, sollte sich folgende Lösungsmenge ergeben (falls ich mich nicht verrechnet habe):

$\begin{eqnarray*} \{(\frac{2a+7}{a+2} | \frac{6}{a+2} | \frac{3}{a+2}) \} \end{eqnarray*}$

Das kannst du ja einmal nachrechnen und dann auch analog die Lösungsmenge für die nächste Aufgabe berechnen. Ich rechne dann auch noch mal, wenn ich Zeit finde. Oder jemand anderes guckt noch mal drauf, wenn er Lust hat.

edit:

Bitte überprüfe noch mal deine Rechnung. Ich komme auf folgende Ergebnisse:

keine Lösung: $\begin{eqnarray*} t=-2 \end{eqnarray*}$
unendlich viele Lösungen: $\begin{eqnarray*} t=-3 \end{eqnarray*}$

Lösungsmenge für eine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \{(\frac{3t+4}{t+2} | \frac{2}{t+2} | \frac{-2}{t+2}) \} \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

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31.12.2014, 17:14

haaakla

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ok ich weiß was du damit meinst, war mir aber nicht sicher ob das auch wirklich gefragt wird, da es sich auf Fall (ii) - also unendlich viele lösungen - beziehen soll.

jedenfalls bekomme ich für x,y,z beim ersten beispiel die gleiche menge mit raus wie du.

das zweite beispiel mache ich gleich..

danke für die mühe!

31.12.2014, 17:26

Mathema

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Gerne!

Ich dachte auch, die Frage bezieht sich auf die Lösungsmenge für eine eindeutige Lösung. Bist du dir sicher, dass es sich auf unendlich viele Lösungen beziehen soll?

verwirrt

verwirrt

Nun ja, falls ich also was übersehe oder falsch verstehe, sollte sich bitte noch einmal ein anderer Helfer hier zu Wort melden.

31.12.2014, 17:30

haaakla

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ja, auf dem angabenblatt (alte prüfungssammlung) steht eindeutig "für unendlich viele lösungen"

31.12.2014, 17:34

Dopap

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da mir langweilig ist, habe ich mal die Beispiele auch gerechnet und kann die Ergebnisse von mathema bestätigen. smile

smile

31.12.2014, 17:42

Bjoern1982

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Zitat:

(b) Bestimme für den Fall (ii) die Lösungsmenge des GLS in abhängigkeit vom parameter t

Das ist vielleicht nur unglücklich ausgedrückt, da t schon als Parameter in der Aufgabe auftaucht.
Gemeint ist wohl, dass man die unendlich vielen Lösungen in Form einer von k abhängigen "Lösungsgerade" bzw Punkteschar ausdrückt. Also ganz normal die Lösungsmenge des LGS bestimmen, für den Fall, dass da irgendwo ganze Nullzeilen entstehen.

31.12.2014, 17:47

Mathema

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Aha - danke euch beiden!

Wünsche euch auch einen guten Rutsch und einen schönen Abend nun. Kommt gut rein ins neue Jahr.

Wink

Wink

31.12.2014, 17:56

Bjoern1982

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Wünsche ich dir auch, Mister "Nun ja" Mathema Big Laugh

Big Laugh

Wink

Sorry aber den Spitzenamen hast du bei mir, weil man in deinen Beiträgen extrem oft "nun ja" liest.

31.12.2014, 18:32

haaakla

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heißt dass dann zB erstes beispiel :

X=2a+7/(a+2) betrachtet man als die Gerade 2a+7 (ohne -3), und schreibt diese in parameterform an ?

wie gesagt, hab noch keinen plan von matrizen

und wie läuft das dann mit c ?

vielen dank für die anteilnahme Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.12.2014, 21:05

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \{\frac{2a+7}{a+2} | \frac{6}{a+2} | \frac{3}{a+2} \} \end{eqnarray*}$

nein, die Lösungsmenge ist Nulldimensional, also ein Punkt im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

vielleicht besser so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L_a= \bigg \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 ~ \bigg | ~ x=\frac{2a+7}{a+2} \, \land y= \frac{6}{a+2} \, \land z= \frac{3}{a+2} \bigg \} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \neq -2 \end{eqnarray*}$

01.01.2015, 11:14

Mathema

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@Dopap:

Danke - ich wollte es auch als Punkt aufschreiben, wie man vll noch erkennen kann, habe aber irgendwie die runden Klammern vergessen. verwirrt

verwirrt

Habe es noch editiert. So wie du es aber aufgeschrieben hast, ist es natürlich noch schöner.

@Björn:

Nun ja - damit kann ich gut leben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wollte dir eigentlich noch eine Nachricht schreiben mit guten Wünschen für ein frohes neues Jahr, aber das habe ich dann nun hiermit getan!

@haaakla:

Ist dir klar was die Wörter "homogenes GLS" und "triviale Lösung" bedeuten?

01.01.2015, 15:44

haaakla

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aaah alles klar, konnte nicht erkennen dass das ein vektor sein sollte, is aber verständlich Freude

Freude

naja bin mir nicht sicher zweck homogen & trivial .. habe mir das jetzt so zusammengereimt

homogen: wenn die rechte seite der drei gleichungen jeweils null ergibt

triviale lösung: x=0, y=0, z=0 ??

01.01.2015, 16:16

Mathema

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So ist es. Freude

Freude

Das zugehörige homogene Gleichungssystem lautet also:

$\begin{eqnarray*} - x - y + (t+2)z = 0<br /> 4x - (4t+8)y - (14+5t)z = 0<br /> 3x - ty - (7+3t)z = 0 \end{eqnarray*}$

Ein homogenes Gleichungssystem hat entweder eine Lösung oder unendlich viele Lösungen, da bei einem homogenen LGS der Nullvektor immer eine Lösung ist (triviale Lösung). Wenn nun die Determinante nicht 0 ist, ist er schon die einzige
Wenn die Determinante 0 ist, gibt es unendlich viele Lösungen. Diesen Fall musst du nun eben ausschließen für deine Aufgabe.

01.01.2015, 21:37

haaakla

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ok, das heißt ich komm wohl doch nicht um die matrizenrechnung drumherum, muss mir also erstmal anschaun wie man determinanten berechnet verwirrt

verwirrt

01.01.2015, 21:42

Mathema

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Nun - das gute hier ist, dass die Determinante 0 ist, wenn das GLS keine oder unendlich viele Lösungen hat. Und die Werte hast du ja schon berechnet.

01.01.2015, 22:02

haaakla

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somit ist

t \in \mathbb R \wedge \left\{ t\neq -2,t\neq -3\right\}

?

01.01.2015, 22:04

haaakla

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konnte mich nocht nicht sorecht mit dem formeleditor anfreunden, also edit:

somit ist:

$\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \wedge \left\{ t\neq -2,t\neq -3\right\} \end{eqnarray*}$ ??

01.01.2015, 22:08

Mathema

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Zitat:

Original von haaakla
somit ist

$\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \wedge \left\{ t\neq -2,t\neq -3\right\} \end{eqnarray*}$

?

Ja - das passt, nur etwas merkwürdig aufgeschrieben meiner Meinung nach.

Entweder so:

$\begin{eqnarray*} \left\{t \in \mathbb R | t\neq -2,t\neq -3\right\} \end{eqnarray*}$

Oder so:

$\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \setminus \left\{ -2; -3\right\} \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

01.01.2015, 22:11

haaakla

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ok vielen dank,war mir eine große hilfe.

ja wie gesagt, muss mich mit dem erst anfreunden Hammer

Hammer

01.01.2015, 22:13

Mathema

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Alles klar - gern geschehen!

Dann weiterhin viel Erfolg bei der Vorbereitung und gutes Gelingen bei deiner Klausur.

smile

smile

03.01.2015, 21:51

haaakla

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so, da bin ich wieder ^^

gibt da noch so ein beispiel bei dem ich nen ansatz bräuchte..

Sei
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 3 & 3a & a+4 \end{pmatrix} <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b= \begin{pmatrix} a , 1 \end{pmatrix} ^{T} \end{eqnarray*}$

für welche reelle Zahl a ist $\begin{eqnarray*} A\vec{x} = b \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar, lösbar, nicht lösbar? + allgemeine Lösung

ja, ich weiß, ist das gleiche in Blau

$\begin{eqnarray*} x + 2y + az = a \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 3x + 3ay + (a+4)z= 1 \end{eqnarray*}$
..

jedoch habe ich, außer wenn a= - 4, keine ahnung wie ich fortfahren soll

03.01.2015, 22:38

Dopap

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was ist wenn a=-4 ist. ? Bitte weiterrechnen...

Und: es wäre an der Zeit den Algorithmus von Gauß in einer Matrix durchzuführen.

03.01.2015, 23:10

haaakla

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ok vergesst das mit -4, war ein fehler.

ja , wie gesagt, ich habe nichts mit der matrizenrechnung am hut und versuche mich "ohne" durchzukämpfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

kann man denn bei so einem gls auch den gauß anwenden? wenn ja, kann ich doch nur zB x, y in abhängigkeit von z und a ausdrücken oder ( oder umgekehrt ) ?

03.01.2015, 23:45

Dopap

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mal 'ne schnelle Antwort:

Man muss(?) immer Gauß anwenden, sonst verliert man den Überblick, zumindestens ab 3 Variable, denn sonst wird nie klar, welche Parameterwerte kritisch sind.

hier ist z.B. a=2 kritisch, d.h. das System splittet sich in die Fälle a=2 und a<>2 auf.

Warum ?

bis morgen !

05.01.2015, 12:49

haaakla

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Hallo, sorry dass ich etwas länger brauche zum antworten

jedenfalls wüsste ich hier garnicht wie ich den gauss anwenden sollte ? da müsste ich in einer der beiden zeilen ja zwei variablen eliminieren, wie solln das gehn ?

und ja wenn a=-4 verschwindet das z in der zweiten gleichung, aber was bring das ?

05.01.2015, 13:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von haaakla
da müsste ich in einer der beiden zeilen ja zwei variablen eliminieren, wie solln das gehn ?

Da hast du das Gaußverfahren nicht so ganz verstanden. Mit dem Verfahren wird eine Matrix in Zeilenstufenform gebracht, was ja bei der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 3 & 3a & a+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nur eine simple Umformung bedeutet.

05.01.2015, 13:39

haaakla

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ok, zeilenstufenform..

heißt das dann nach abziehen des 3fachen der ersten gleichung von der zweiten :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 0 & 3a-6 & -2a+4 \end{pmatrix} <br /> ? \end{eqnarray*}$

05.01.2015, 13:42

klarsoweit

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OK. Für die Dimension des Kerns ist jetzt der Rang der Matrix entscheidend. Je nach Wert von a könnte der Rang 1 oder 2 sein.

06.01.2015, 10:45

firemouse

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es wäre an der Zeit den Algorithmus von Gauß in einer Matrix durchzuführen.

06.01.2015, 10:47

klarsoweit

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Was willst du jetzt mit dieser tollen Anmerkung bezwecken? verwirrt

verwirrt

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