Surjektivität

30.12.2014, 20:14

martinio

Surjektivität

Hallo ich habe folgende Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\phi\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dass die Abbildung linear ist, habe ich bereits raugefunden. Auch die injektivität konnte ich durch $\begin{eqnarray*} \ker \phi = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ nachweisen.

Ist die Abbildung auch surjektiv und damit auch bijektiv? Ich sehe kein Grund, warum das nicht der Fall sein sollte, aber ich weiß nicht so recht, wie ich das nun zeigen kann.

Idee: Wenn ich zeige, dass die Dimension von Urbild- und Bildraum gleich groß sind, so wäre die Abbildung bijektiv (die injektvität als notw. kiriterium habe ich ja schon gezeigt), da in beiden mengen gleich viele elemente gibt und jedes bild hat genau ein urbild hat.

30.12.2014, 20:24

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RE: Surjektivität
Was macht das $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ da?

30.12.2014, 21:33

martinio

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RE: Surjektivität
sry muss heißen

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\phi\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

30.12.2014, 22:06

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RE: Surjektivität
ok, jetzt passt das alles zusammen.
In diesem Beispiel kann man die Surjektivität einfach direkt zeigen, indem man zu beliebigem $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ das passende $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi((x_1,x_2))=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ angibt.

Allgemein gilt: Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W$ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dim(V)=\dim(W)<\infty \end{eqnarray*}$ ist f genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist. Am schnellsten sieht man das mit dem Dimensionssatz für lineare Abbildungen.
Es kommt darauf an, dass die beteiligten Räume gleiche endliche Dimension haben.
Die Argumentation über "gleich viele Elemente" ist bei unendlichen Mengen mit Vorsicht zu genießen.
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}, n\mapsto n+1 \end{eqnarray*}$ ist injektiv aber nicht surjektiv.

30.12.2014, 22:46

martinio

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RE: Surjektivität
Hallo und danke für die Antwort.

wenn ich dann recht verstehe:

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi(x)=\phi\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Abbildung.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \ker \phi = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} \dim \left(\ker\phi\right) = 0 \end{eqnarray*}$ . Zudem kennen wir, dass die Dimension des Urbildraumes $\begin{eqnarray*} dim \left(\mathbb R^2 \right) = 2 \end{eqnarray*}$

Per Dimensionsformel für lin. Abbildungen finden wir dann $\begin{eqnarray*} \dim \left(\mathbb R^2 \right) = \dim \left(\text{bild }\phi \right)+ \dim \left(\ker\phi\right) \rightarrow \dim \left(\text{bild }\phi \right) = 2 \end{eqnarray*}$ .
Es geht also keine Dimension unter der Abbildung verloren.

Zitat:

In diesem Beispiel kann man die Surjektivität einfach direkt zeigen, indem man zu beliebigem $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ das passende $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi((x_1,x_2))=(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ angibt

D.h. einfach per Umkehrfunktion?

$\begin{eqnarray*} \phi^-1 \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \phi^-1 \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ x_1-x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
Wie sähe das denn bei einer nicht surjektiven Funktion aus?

Per Satz gillt für lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to W$ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dim(V)=\dim(W) \end{eqnarray*}$ , dass genau wenn f surjektiv ist, auch bijektiv (und damit auch injektiv) ist.

30.12.2014, 23:11

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RE: Surjektivität
Richtig, und $\begin{eqnarray*} \dim \left(\text{bild }\phi \right) = 2 \end{eqnarray*}$ bedeutet hier Surjektivität.
Das passende $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2) \end{eqnarray*}$ findet man durch Lösen eines linearen Gleichungssystems.

Zitat:

Wie sähe das denn bei einer nicht surjektiven Funktion aus?

ich verstehe die Frage nicht Augenzwinkern

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