Punkt verschieben drehen und spiegeln

01.01.2015, 13:35	Lorli	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt verschieben drehen und spiegeln Meine Frage: Frohes neues Jahr! Beim Rechnen von Übungsaufgaben bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen, mit der ich so gar nichts anzufangen weiß: Im (x,y,z)- Koordinatensystem soll ein Punkt mit dem Lagevektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ 1. um den Vekor $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ verschoben, 2. mit dem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha_{y} \end{eqnarray}$ um die y-Achse gedreht und 3. an der (y,z)-Ebene gespiegelt werden. Beschreiben Sie diese komplette INVERSE Bewegung in der Form $\begin{eqnarray} \vec{x'} = A\vec{x} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Tja... alles mit einem Fragezeichen dahinter. 1. $\begin{eqnarray} \vec{x'} = V\vec{x} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \vec{x'} = DV\vec{x} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \vec{x'} = SDV\vec{x} \end{eqnarray}$ wobei v = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & v_{x} \\ 0 & 1 & v_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und D= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein könnten. Was ich damit jetzt anfange soll, weiß ich aber nicht.
01.01.2015, 18:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
V scheint mir nicht richtig zu sein, da $\begin{eqnarray} Vx=V(a,b,c)=(a+v_xc,b+v_yc,c) \end{eqnarray}$ nicht der um $\begin{eqnarray} (v_x,v_y,v_z) \end{eqnarray}$ verschobene Punkt $\begin{eqnarray} (a+v_x,b+v_y,c+v_z) \end{eqnarray}$ ist. D ist soviel ich sehe eine Drehung um die z-Achse. Über S hast du noch keine Idee mitgeteilt. Es handelt sich hier um eine affine Abbildung, insbesondere ist V nicht linear. Deshalb verstehe ich nicht, wie diese Aufgabe gelöst werden kann, wenn man A und seine Inverse als Matrix verstehen will.
03.01.2015, 13:38	Lorli	Auf diesen Beitrag antworten »
v und d habe ich so aus meinen Mitschriften. Wir haben d allg. für Drehung um alpha aufgeschrieben(woran sieht man, welche Achse es ist?) und v für die Verschiebung. Bei s war ich mir mit der yz -Eben nicht sicher, denn yz -Ebene ist nicht gleich die x-Achse, oder? Ich habe mich momentan irgendwie auch selbst so verwirrt, dass ich nicht mal mehr weiß, wie ich die Matrizen bilden kann.
03.01.2015, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gesagt: "Es handelt sich hier um eine affine Abbildung, insbesondere ist V nicht linear." Mit anderen Worten: Das geht nicht mit Matrizen. Jede Matrix bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab. Die Verschiebung bildet den Nullpunkt auf den um den Verschiebevektor verschobenen Punkt ab. Was du vermutlich machen sollst und machen kannst, ist die affine Abbildung $\begin{eqnarray} P'=SDV(P) \end{eqnarray}$ und ihre Umkehrabbildung $\begin{eqnarray} P'=V^{-1}D^{-1}S^{-1}(P) \end{eqnarray}$ darstellen, aber eben nicht mit Matrizen. Für V habe ich es Dir vorgemacht, ich weiß aber nicht, ob das die übliche Notation ist, oder welche Notation Ihr benutzt.

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