Gleichungen umformen/auflösen

01.01.2015, 18:03

hirnlos

Gleichungen umformen/auflösen

Hallo liebes Forum,

zunächst wünsche ich allen Lesern ein frohes neues Jahr.
Ich versuche zwei längere Übungsaufgaben zu verstehen und hänge jeweils an einem Schritt fest, der mir einfach nicht in den Kopf will (vermutlich ist dieser super trivial) verwirrt

1. "Problem"

Ich hätte gerne gewusst, wie aus

$\begin{eqnarray*} K^{\alpha +\beta } = \frac{Q}{A}\cdot \left(\frac{w}{r}\cdot \frac{\alpha }{\beta } \right)^\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K= \left(\frac{Q}{A} \right)^\frac{1}{\alpha + \beta }\cdot \left(\frac{w}{r}\cdot \frac{\alpha }{\beta } \right)^\frac{\beta }{\alpha + \beta } \end{eqnarray*}$

wird. Ich stehe komplett auf dem Schlauch.

2. "Problem"

Wie wird aus:

$\begin{eqnarray*} C= w\cdot \left(\frac{r}{w} \right)^\frac{1}{2}\cdot \frac{Q}{A}+ r\cdot \left(\frac{w}{r} \right)^\frac{1}{2}\cdot \frac{Q}{A} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C= \left(w\cdot r\right)^\frac{1}{2}\cdot \frac{Q}{A}+ \left(w\cdot r\right)^\frac{1}{2}\cdot \frac{Q}{A} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, ihr könnt mir unter die Arme greifen und mir den ein oder anderen Denkanstoß verpassen. smile

01.01.2015, 18:11

kgV

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Beim ersten Beispiel wird einfach die $\begin{eqnarray*} (\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$ -Wurzel aus der Gleichung gezogen. smile

Vielleicht verwirrt dich die Schreibung $\begin{eqnarray*} \sqrt[a]{x}=x^{\frac 1a} \end{eqnarray*}$

Im zweiten Beispiel wird unter Verwendung der Potenzgesetze $\begin{eqnarray*} \frac 1x=x^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^xa^y=a^{x+y} \end{eqnarray*}$ multipliziert

Lg
kgV
Wink

01.01.2015, 18:38

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha+\beta \end{eqnarray*}$ -Wurzel aus der Gleichung gezogen

Da sollte man noch eine Klammer setzen.
Wobei Wurzeln hier gar nicht unbedingt erwähnt werden müssen, die Gleichung wurde auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha + \beta} \end{eqnarray*}$ potenziert und dann $\begin{eqnarray*} (a^m)^n=a^{m \cdot n} \end{eqnarray*}$ so wie $\begin{eqnarray*} (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n \end{eqnarray*}$ benutzt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a^xa^=a^{x+y} \end{eqnarray*}$

Da fehlt auch noch ein y und wo man nun ausmultiplizieren soll, sehe ich nicht wirklich. verwirrt

Hier greift im Grunde $\begin{eqnarray*} (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \end{eqnarray*}$ und danach etwas zusammenfassen und wiederum $\begin{eqnarray*} (a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n \end{eqnarray*}$

Vielleicht interpretiere ich deine Vorschläge auch falsch, dann entschuldige.

Und damit bin ich wieder raus. Wink

01.01.2015, 18:45

kgV

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Nein, du hast schon recht, war etwas schlampig formuliert von mir smile

(wenngleich deine Version schon fast eine Komplettlösung ist Augenzwinkern

)

Danke fürs Ausputzen

02.01.2015, 01:18

hirnlos

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Danke für die schnelle Hilfe! Das erste Beispiel habe ich nun verstanden. Aber um ehrlich zu sein, habe ich dafür das zweite noch nicht verstanden.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \end{eqnarray*}$ als Ausgangspunkt nehme, müsste es in meinem Beispiel wie folgt heißen:

w*((r)^0,5/(w)^0,5)

Weiter komme ich aktuell leider nicht. Ich weiß nicht, wie ich nun zusammenfassen muss. verwirrt

Liebe Grüße

02.01.2015, 01:26

Bjoern1982

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Die Klammer kann man ja auch weglassen oder auch etwas umsortieren:

$\begin{eqnarray*} w \cdot \frac{r^{\frac{1}{2}}}{w^{\frac{1}{2}}}=r^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{w}{w^{\frac{1}{2}}}=... \end{eqnarray*}$

02.01.2015, 15:49

hirnlos

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ich habe mir nochmal Gedanken gemacht und komme auf folgenden Rechenweg:

w*((r)^0,5/(w)^0,5) = r^0,5*w*(1/w^0,5) =r^0,5*w*w^-0,5 (Anwendung des Potenzgesetz a^x*a^y=a^x+y)

= r^0,5*w^0,5= (r*w)^0,5

Stimmt es so??

02.01.2015, 17:43

Bjoern1982

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Kann man so machen, ja. Freude

02.01.2015, 18:46

hirnlos

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wie sähe denn ein anderer weg aus?

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