Dimension von Kern/Bild linearer verketteter Abbildungen

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qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von Kern/Bild linearer verketteter Abbildungen
Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe ist folgende: Sei K ein Körper und seien V,W,X drei endlich-dimensionale K-Vektorräume sowie und . Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

1.)
2.)


Meine Ideen:
Ich weiß, dass dim(Kern(g))=dim(W)-dim(Bild(g)) sowie dim(Bild(f))=dim(V)-dim(Kern(f)) nach dem Rangsatz gilt. Außerdem ist gilt bei 1.) dim(V)=dim(W) und bei 2.) dim(W)=dim(X), da g bzw. f bijektiv sind. Aber wie zeigt man nun die Gleichheiten?

Viele Grüße
Alex
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension von Kern/Bild linearer verketteter Abbildungen
zu 1.) Es ist doch . Denn wenn , dann ist doch , weil f bijektiv.

Analog kannst du in 2.) vorgehen.
 
 
qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank erstmal. Das konnte ich auch nachvollziehen. Aber ich weiß nicht genau, wie man bei der zweiten Aufgabe analog vorgeht. Wie kann ich da ein U definieren?

LG
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2. Aufgabe ist eigentlich einfacher als die erste, da wegen der Bijektivität von g sofort folgt, dass .

Vielleicht solltest du mal beweisen, dass aus der Bijektivität von für jeden Unterraum folgt: . Daraus folgt dann 2.) direkt. Allgemein gilt ja für jede lineare Abbildung zwischen Vektorräumen: . Dann musst du noch die Bijektivität reinbringen, um die Dimensionsgleichheit von U und seinem Bild zu zeigen.
qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, dass ich noch mal so blöd fragen muss, aber wie zeigt man die Dimensionsgleichheit zwischen einem beliebigen Unterraum und seinem Bild unter den Voraussetzungen?

LG
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von qwertz235
aber wie zeigt man die Dimensionsgleichheit zwischen einem beliebigen Unterraum und seinem Bild unter den Voraussetzungen?


Geh über das Urbild von g. Da g bijektiv, ist dies eine erlaubte Abbildung . Auch für diese muss dann gelten . Daraus folgt die Gleichheit direkt.
qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, damit habe ich es nun auch verstanden. Besten Dank!

Viele Grüße
Alex
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