Dimension von Kern/Bild linearer verketteter Abbildungen

02.01.2015, 15:12

qwertz235

Dimension von Kern/Bild linearer verketteter Abbildungen

Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe ist folgende: Sei K ein Körper und seien V,W,X drei endlich-dimensionale K-Vektorräume sowie $\begin{eqnarray*} f\in L(V,W) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in L(W,X) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

1.) $\begin{eqnarray*} f\ bijektiv\Rightarrow dim(Kern(g)) = dim(Kern(g\circ f)) \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} g\ bijektiv \Rightarrow dim(Bild(f)) = dim(Bild(g\circ f)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass dim(Kern(g))=dim(W)-dim(Bild(g)) sowie dim(Bild(f))=dim(V)-dim(Kern(f)) nach dem Rangsatz gilt. Außerdem ist gilt bei 1.) dim(V)=dim(W) und bei 2.) dim(W)=dim(X), da g bzw. f bijektiv sind. Aber wie zeigt man nun die Gleichheiten?

Viele Grüße
Alex

02.01.2015, 16:46

RavenOnJ

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RE: Dimension von Kern/Bild linearer verketteter Abbildungen
zu 1.) Es ist doch $\begin{align*} \dim(\operatorname{ker}(g)):=\dim(g^{-1}(0_X))=\dim((f^{-1}\circ g^{-1})(0_X))=\dim((g\circ f)^{-1}(0_X))=:\dim(\operatorname{ker}(g\circ f)) \end{align*}$ . Denn wenn $\begin{align*} U := \operatorname{ker}(g):=g^{-1}(0_X) \end{align*}$ , dann ist doch $\begin{align*} \dim(U) =\dim(f^{-1}(U)) \end{align*}$ , weil f bijektiv.

Analog kannst du in 2.) vorgehen.

03.01.2015, 00:32

qwertz235

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Ok, vielen Dank erstmal. Das konnte ich auch nachvollziehen. Aber ich weiß nicht genau, wie man bei der zweiten Aufgabe analog vorgeht. Wie kann ich da ein U definieren?

LG

03.01.2015, 01:10

RavenOnJ

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Die 2. Aufgabe ist eigentlich einfacher als die erste, da wegen der Bijektivität von g sofort folgt, dass $\begin{align*} \dim(\operatorname{img}(f))=\dim(\operatorname{img}(g\circ f)) \end{align*}$ .

Vielleicht solltest du mal beweisen, dass aus der Bijektivität von $\begin{align*} g:W\to X \end{align*}$ für jeden Unterraum $\begin{align*} U\subset W \end{align*}$ folgt: $\begin{align*} \dim(U)=\dim(g(U)) \end{align*}$ . Daraus folgt dann 2.) direkt. Allgemein gilt ja für jede lineare Abbildung $\begin{align*} h:U\to X \end{align*}$ zwischen Vektorräumen: $\begin{align*} \dim(U)\ge \dim(h(U)) \end{align*}$ . Dann musst du noch die Bijektivität reinbringen, um die Dimensionsgleichheit von U und seinem Bild zu zeigen.

03.01.2015, 09:55

qwertz235

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Tut mir leid, dass ich noch mal so blöd fragen muss, aber wie zeigt man die Dimensionsgleichheit zwischen einem beliebigen Unterraum und seinem Bild unter den Voraussetzungen?

LG

03.01.2015, 16:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von qwertz235
aber wie zeigt man die Dimensionsgleichheit zwischen einem beliebigen Unterraum und seinem Bild unter den Voraussetzungen?

Geh über das Urbild von g. Da g bijektiv, ist dies eine erlaubte Abbildung $\begin{align*} g^{-1}:X\to W \end{align*}$ . Auch für diese muss dann gelten $\begin{align*} \dim(U))\ge \dim(g(U))\ge \dim(g^{-1}(g(U))=\dim((g^{-1}\circ g)(U))=\dim(\operatorname{id}(U)=\dim(U)) \end{align*}$ . Daraus folgt die Gleichheit direkt.

03.01.2015, 21:22

qwertz235

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Alles klar, damit habe ich es nun auch verstanden. Besten Dank!

Viele Grüße
Alex

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