Anzahl Versuche bis Fehler 0,02

02.01.2015, 17:53

ooooOoooo

Anzahl Versuche bis Fehler 0,02

Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgabe beschäftigt mich schon eine Weile:
$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ : reellwertige Zufallsvariable, die Bernoulli-Verteilung mit $\begin{eqnarray*} P(X = 1) = p, P(X = 0) = q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p+q = 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Angenommen, dass in einem geeigneten Zufallsexperiment in einem Versuch $\begin{eqnarray*} X(\omega) (mit \omega \in \Omega) \end{eqnarray*}$ gemessen werden können. Wie viele Versuche müssen gemacht werden, damit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit 95% Wahrscheinlichkeit bis auf einen Fehler von 0,02 bestimmt wird.
Hinweis: Tschebyscheff-Ungleichung geeignet werden und beachten,dass $\begin{eqnarray*} p*q\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Tschebyscheff-Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P (|X-\mathbb E(X)|\geq \epsilon) \leq \frac{Var(x)}{\epsilon^{2}} \end{eqnarray*}$
Bernoulli Verteilung: zwei mögliche Versuchsausgänge, p und q mit q=1-p
Varianz: $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X^{2})-\mathbb E(X)^{2} \end{eqnarray*}$

Mir fehlt der Ansatz um diese Aufgabe zu lösen, hat jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank schon mal!

02.01.2015, 18:20

Leopold

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RE: Anzahl Versuche bis Fehler 0,02
Man führt das Bernoulli-Experiment ja öfter in unabhängigen Versuchen durch. So bekommt man $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängige Bernoulli-Größen $\begin{align*} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{align*}$ mit Erfolgswahrscheinlichkeit $\begin{align*} p \end{align*}$ .

Ein Beispiel: Du hast eine Urne mit schwarzen und weißen Kugeln, kennst aber den Anteil $\begin{align*} p \end{align*}$ der schwarzen Kugeln nicht. Jetzt ziehst du 100mal eine Kugel und legst sie nach jeder Ziehung zurück. So bekommst du 100 Bernoulli-Größen $\begin{align*} X_1,X_2,\ldots,X_{100} \end{align*}$ . Eine solche hat den Wert 1, wenn die gezogene Kugel schwarz ist, und 0, wenn sie weiß ist.
Wie würdest du aus den Ergebnissen der Ziehungen den Parameter $\begin{align*} p \end{align*}$ schätzen?

Zitat:

Original von ooooOoooo
Wie viele Versuche müssen gemacht werden, damit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit 95% Wahrscheinlichkeit bis auf einen Fehler von 0,02 bestimmt wird.
Hinweis: Tschebyscheff-Ungleichung geeignet werden und beachten,dass $\begin{eqnarray*} p*q\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Diese Formulierung bei diesem Aufgabetyp hat mich schon immer gestört. Sie scheint wohl unausrottbar. Meiner Meinung nach müßte es heißen: Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine Mindestzahl an Versuchen an, die garantiert, daß ...

02.01.2015, 19:19

ooooOoooo

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Also, meine Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen, ist jedes mal wieder gleich groß, da die gezogene Kugel ja zurückgelegt wird.
Aber ich weiß nicht wie ich p schätzen soll, da ich ja nicht weiß, wie viele schwarze Kugeln ich habe. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel schwarz ist, ist ja
$\begin{eqnarray*} \frac {p} {Anzahl Kugeln in der Urne} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie hilft mir das? verwirrt

02.01.2015, 19:29

Leopold

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Noch ein Versuch. Nehmen wir in einem einfachen Modell an, eine Woche vor der Wahl hätten sich die Wähler entschieden, welche Partei sie am nächsten Sonntag wählen wollen. Du interessierst dich für den Anteil $\begin{align*} p \end{align*}$ der SPD-Wähler, kennst ihn aber nicht, du bist ja nicht der liebe Gott. Deshalb fragst du zufällig 500 Wahlbürger. Wie würdest aufgrund der Befragungen den unbekannten Anteil $\begin{align*} p \end{align*}$ schätzen?

02.01.2015, 22:52

ooooOoooo

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$\begin{eqnarray*} \frac {p}{500} \end{eqnarray*}$ wäre meine Antwort. Wird aber wohl nicht stimmen.
Ich steh leider total auf der Leitung...
Also auf jeden Fall muss ich ja schon mal mit der Indikatorfunktion arbeiten. Zudem stimmt der Erwartungswert der relativen Häufigkeit mit p überein. Ich geh davon aus, dass ich mit dem "schwachen Gesetz der großen Zahlen" arbeiten muss... Leider weiß ich nicht, wie ich die Informationen nun miteinander in Verbindung bringe, bzw. damit zu der Antwort auf deine Frage komme. Forum Kloppe

02.01.2015, 23:12

Dopap

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schon mal was von relativer Häufigkeit gehört:

$\begin{eqnarray*} \frac {\text{Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln}}{\text{Anzahl aller gezogenen Kugeln}} \end{eqnarray*}$

03.01.2015, 00:03

ooooOoooo

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Kann ich die Aufgabe auch mit folgender Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (| \frac{X}{n} - p| \geq \epsilon) \leq \frac{1}{4n\epsilon^{2}} \end{eqnarray*}$
und dies dann wie folgt umstellen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P (| \frac{X}{n} - p| < \epsilon) \geq 1 - \mathbb P (| \frac{X}{n} - p| \geq \epsilon) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq 1 - \frac{1}{4n\epsilon^{2}} \end{eqnarray*}$ ?

n steht für die Anzahl der Versuche
p Trefferwahrscheinlichkeit und
X Anzahl der Treffer

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