Wie bestimmt man die Basis + Dimension vom Kern bzw. Bild einer linearen Abbildung ?

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LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bestimmt man die Basis + Dimension vom Kern bzw. Bild einer linearen Abbildung ?
Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe leider nicht wie man die Basis einer linearen Abbildung bestimmt.
Als Beispiel habe ich folgendes:

Es soll halt die Basis bestimmt werden und die Dimension vom Kern und vom Bild von f.

Bitte dringend um Hilfe.
Danke schonmal im voraus.

Meine Ideen:
Im ersten Teil der Aufgabe sollten die Matrix unter den Standardasen IR^4 und IR^3 bestimmt werden. Dort hatte ich die Abbildungsmatrix:

raus. Nun soll man halt die Basis und die Dimension von Kern von f und vom Bild von f bestimmen.

Kann man die Dimension über den Gauß-Algo. bestimmen?

Den Gauß-Algo. hatte ich auf die Abbildungsmatrix angewandt und kam auf den Rang 2. Ist das dann die Dimension vom Kern oder vom Bild von f ?
Oder muss man hierbei die Dimensionsformel anwenden (http://www.grundstudium.info/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode55.php) ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Abbildung hat keine Basis. Jeder Vektorraum hat eine Basis. Kern und Bild einer linearen Abbildung sind Vektorräume, also haben sie Basen. Gauß-Algorithmus ist nützlich, denn der Rang der Matrix ist die Dimension des Bildes von f. Dann hat man noch den Dimensionssatz, um die Dimension des Kerns zu bestimmen. Kern bekommt man ganz leicht durch Lösung des LGS. Steht alles im Skript und in jedem LA-Buch.
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es den richtig hierbei die Abbildungsmatrix zu verwenden um die Dimension vom Bild von f zu bekommen ?

Wenn ich, wie du sagst, die Dimension vom Bild bestimmt habe fehlt mir aber noch etwas.
Hier nochmal der Dimensionssatz:



Mir fehlt nur noch . Aber welches LGS muss ich nun lösen?



Danke für die schnelle Antwort!
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt einfach versucht die Matrix mit 0 gleichzusetzen und zu lösen.
Ich habe diesmal nicht die Abbildungsmatrix verwendet, sondern folgende:

Ich habe dann rausbekommen:


Ich habe noch die Formel:


Aber welche Dimension hat den nun der Kern?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Gauß-Algorithmus:



Kern-Berechnung:

dim , und eine Basis des Kerns habe ich dir auch noch berechnet.

Dringende Empfehlung: Skript und Buch lesen, lernen, üben, üben, üben. Lehrer
LordKelvin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Elvis. Dein Beitrag hat mir sehr geholfen smile
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiß nicht, Dimension und Basis des Bild von f zu berechnen. Das ist noch einfacher, als den Kern zu berechnen.
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