Überabzählbar viele Teilmengen von Q haben leeren Rand

04.01.2015, 13:28	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Überabzählbar viele Teilmengen von Q haben leeren Rand Meine Frage: Hallo Leute, ich habe gerade gelesen, dass überabzählbar viele Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ leeren Rand haben. Ich dachte jetzt irgendwie zunächst, dass alle Teilmengen einen leeren Rand haben und die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ überabzählbar ist. Aber die Einpunktmengen haben ja keinen leeren Rand, es gilt doch: $\begin{eqnarray} \overline {\{ a \}} = \{ a \} \end{eqnarray}$ und das Inneres ist leer. Also ist der Rand auch $\begin{eqnarray} \{ a \} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wie sehen, also diese Teilmengen aus, die keinen Rand haben, von denen es aber überabzählbar viele gibt? Ich habe jetzt noch eine andere Idee: Sei $\begin{eqnarray} A_i \subset \mathbb Q \end{eqnarray}$ definiert durch: $\begin{eqnarray} A:= \{ x \in \mathbb Q \| x \leq \zeta_i \ \in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ von diesen Mengen kann ich überabzählbar viele konstruieren, da $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ überabzählbar ist. Jetzt ist "nur" noch zu zeigen, dass diese leeren Rand haben.
04.01.2015, 13:52	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: überabzählbar viele Teilmengen von Q haben leeren Rand hallo, ich glaube z.B. die menge aller x el.v. Q, für die gilt 1< x < 2 wäre ein beispiel für eine solche menge, denn sie hat ja sowohl links als auch rechts keine randelemente, und man kann natürlich überabzählbar viele solcher intervallle billden. gruss ollie3
04.01.2015, 13:57	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: überabzählbar viele Teilmengen von Q haben leeren Rand Ich hätte jetzt gesagt, dass $\begin{eqnarray} \{1,2 \} \end{eqnarray}$ der Rand dieser Menge ist
04.01.2015, 14:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, ollie3, deine Intervalle sind charakterisiert durch 2 rationale Zahlen, die untere und obere Grenze des offenen Intervalls. mit $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist aber auch $\begin{eqnarray} \mathbb Q^2 \end{eqnarray}$ abzählbar. Und einen Rand haben sie auch noch, wie steviehawk richtig bemerkt. @steviehawk Du musst auch noch zeigen, dass deine Teilmengen paarweise verschieden sind. Du hast zwar überabzählbar viele Mengen konstruiert, aber viele davon könnten auch zusammenfallen (bis zum Beweis des Gegenteils). Außerdem: Für $\begin{eqnarray} \zeta \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ haben deine Mengen einen Rand.
23.02.2015, 15:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es denn noch eine andere Menge, die sehr naheliegend ist und an die ich nicht gedacht habe?
23.02.2015, 18:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle offenen Intervalle $\begin{eqnarray} (a,b)\subset \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a<b, a,b \in \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray}$ tun es. Auch die offenen Intervalle $\begin{eqnarray} (-\infty,b),(a,\infty) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb R \backslash \mathbb Q \end{eqnarray}$ gehören dazu, an die hattest du ja selbst schon gedacht. Und endliche Vereinigungen dieser Intervalle tun es.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »