Statikaufgabe mit Trigonometrie Problem

04.01.2015, 18:17

Levaru

Statikaufgabe mit Trigonometrie Problem

Meine Frage:
Vorab: Ich bin mir nicht sicher ob ich in der richtigen Kategorie bin deshalb verzeiht mir falls ich mich verirrt hab.

Das Problem:
[attach]36657[/attach]

Die Aufgabenstellung an sich ist recht einfach und falls ihr keine Erfahrung mit Statik habt keine Sorge es geht mir hier um ein cosinus/sinus Problem.

Meine Ideen:
Hier erstmal mein Ansatz soweit:
$\begin{eqnarray*} \sum F_{x}=0=-F_{1}+F_{2}\cdot \sin\beta +F_{3}\cdot \sin\gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum F_{y}=0=-F_{2}\cdot \cos\beta +F_{3}\cdot \cos\gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{1)}0=-F_{1}+F_{2}\cdot \sin\beta +F_{3}\cdot \sin\gamma \: \: \: \: |\div \sin\gamma \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbf{2)}0=-F_{2}\cdot \cos\beta +F_{3}\cdot \cos\gamma \: \: \: \: |\div \cos\gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{1a)}0=\frac{-F_{1}}{\sin\gamma}+F_{2}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\gamma} +F_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbf{2a)}0=-F_{2}\cdot \frac{\cos\beta}{\cos\gamma} + F_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbf{1a)-2a):}\, \, 0=\frac{-F_{1}}{\sin\gamma}+F_{2}\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}-F_{2}\cdot \frac{\cos\beta}{\cos\gamma} \, \, \, |\div \sin\gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-F_{1}+F_{2}\cdot\sin\beta-F_{2}\cdot \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}\cdot \cos\beta\, \, \, |+ F_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{1}=F_{2}\cdot\sin\beta-F_{2}\cdot \tan\gamma \cdot \cos\beta \, \, \, |\div F_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{F_{1}}{F_{2}}=\sin\beta- \tan\gamma \cdot \cos\beta \end{eqnarray*}$

So und ab hier weis ich einfach nicht mehr weiter. Was ich jetzt gerne konkret wissen möchte: Wie löse ich den Term in der letzten Zeile?

Falls es jemanden interessiert hier ist die Lösung für die Aufgabe:
[attach]36661[/attach]

Hier wird aber in der Zeile nach dem Gleichsetzen eine Umformung vorgezogen die ich nicht nachvollziehen kann.

04.01.2015, 19:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Levaru
$\begin{eqnarray*} \frac{F_{1}}{F_{2}}=\sin\beta- \tan\gamma \cdot \cos\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} F_1,F_2,\gamma \end{align*}$ sind gegeben, dann ist das doch eine Bestimmumgsgleichung für $\begin{align*} \beta \end{align*}$ , die sich auflösen lässt:

$\begin{align*} \frac{4}{5} = \sin\beta - \frac{\sqrt{3}}{3}\cos\beta \end{align*}$

04.01.2015, 19:25

Levaru

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Genau hier weis ich nicht (mehr) wie so etwas geht. Hilfe

04.01.2015, 19:43

Mathema

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Du könntest ja mal folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}+ \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\beta) = \sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Nun quadrieren (also später Probe machen!):

$\begin{eqnarray*} (\frac{4}{5}+ \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\beta))^2 = \sin^2(\beta) \end{eqnarray*}$

Nun links das Binom auflösen und rechts an Pythagoras denken. Das ganze denn über eine Substitution $\begin{eqnarray*} z=\cos(\beta) \end{eqnarray*}$ lösen.

Wink

04.01.2015, 19:55

Dopap

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Etwas spät, trotzdem:

die Lösung ist ja l'art pour l'art. In Physik verwendet man die Angaben sofort und rechnet ohne Vorzeichen :

$\begin{eqnarray*} F_3 \binom {\cos (\alpha_1)}{\sin (\alpha_1)} + F_2 \binom {\cos(\alpha_2)}{\sin (\alpha_2)} + F_1 \binom {\cos(\alpha_3)}{\sin (\alpha_3)}= \binom 00 \end{eqnarray*}$

so, nun setzt man alle Werte ein, z.B. $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha_3)=0 \quad, \sin (\alpha_3)=-1 \end{eqnarray*}$ etc..

das macht die Gleichungen deutlich übersichtlicher.

04.01.2015, 20:10

Levaru

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$\begin{eqnarray*} \sin ^{2}\beta = \left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2}\cdot \cos ^{2}\beta + 1,28\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\cdot \cos\beta +0,64 \end{eqnarray*}$

Soweit bin ich gekommen... Mein erste Idee wäre jetzt den quadratischen Bruch zu dividieren um die Gleichung in eine Normalform zu bringen aber das geht ja nicht wegen dem sinus auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens.

Oder ich mache folgendes:
$\begin{eqnarray*} \cos\beta=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta = \arcsin \left ( \sqrt{ \frac{x^{2}}{3} + 1.28\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )\cdot x +0.64}\right) \end{eqnarray*}$

Und weiter?

04.01.2015, 20:20

Mathema

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Zitat:

Mein erste Idee wäre jetzt den quadratischen Bruch zu dividieren um die Gleichung in eine Normalform zu bringen aber das geht ja nicht wegen dem sinus auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens.

Deswegen schrieb ich auch:

Zitat:

Nun links das Binom auflösen und rechts an Pythagoras denken.

Du musst schon die Beiträge genau lesen. Um es weiter auszuführen:

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Des Weiteren frage ich mich, wo die 1,28 herkommen?

04.01.2015, 20:27

Levaru

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Zitat:

Original von Mathema
$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

Des Ausdruck ist mir bekannt aber ich verstehe nicht wo ich aus der Luft die 1 hernehmen soll. Ich sehe das ist genau der Punkt den ich auch in der Lösung nicht verstehe.

Zitat:

Des Weiteren frage ich mich, wo die 1,28 herkommen?

Ich hab das Binom aufgelöst und 2*4/5 ergibt 1,28.

04.01.2015, 20:33

Mathema

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Zitat:

Des Ausdruck ist mir bekannt aber ich verstehe nicht wo ich aus der Luft die 1 hernehmen soll.

Wieso hernehmen? Du ersetzt $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ . Danach wird dann weiter zusammengefasst.

Zitat:

Ich hab das Binom aufgelöst und 2*4/5 ergibt 1,28.

Das rechnest du lieber noch mal nach.

04.01.2015, 21:13

HAL 9000

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Schneller (und vor allem ohne Einhandeln von Scheinlösungen) geht es so: Multiplikation der Bestimmungsgleichung mit $\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} \frac{2\sqrt{3}}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\beta - \frac{1}{2}\cos\beta = \cos\frac{\pi}{6}\sin\beta - \sin\frac{\pi}{6}\cos\beta = \sin\left(\beta-\frac{\pi}{6}\right) \end{align*}$ .

04.01.2015, 21:18

Levaru

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Uuups.

Hatte einen Tippfehler im Taschenrechner. Und jetzt wird mir auch einiges klar!
Mir wäre das aus irgendeinem Grund nie in den Sinn gekommen das sin^2 zu ersetzen.

Wenn ich also $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ ersetze, das Binom auf der anderen Seite auflöse, cosinus durch x substituiere und das ganze vereinfache müsste folgendes rauskommen:
$\begin{eqnarray*} 0 = x^{2}+1,2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot x-0,27 \end{eqnarray*}$

Jetzt einfach die pq-Formel anwenden und wir bekommen folgendes raus:
x1=0,278089638
x2=-0,97090996

Wieder eingesetzt für cosinus bekommen wir entweder:
$\begin{eqnarray*} \beta = \arcsin \left (0.8+\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 0,278089638 \right)=73,85^{\circ} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \beta = \arcsin \left (0.8+\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot -0,97090996 \right)=13,85^{\circ} \end{eqnarray*}$

Richtig?

04.01.2015, 22:42

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \beta = \arcsin \left (0.8+\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 0,278089638 \right)=73,85^{\circ} \end{eqnarray*}$

Das passt doch, wie auch der deutlich elegantere Weg von HAL zeigt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \beta = \arcsin \left (0.8+\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot -0,97090996 \right)=13,85^{\circ} \end{eqnarray*}$

Hierfür solltest du noch einmal die Probe machen.

edit: Dann kannst du dir die Probe anscheinend sparen. Wink

04.01.2015, 22:43

HAL 9000

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Oben in deinen Umformungen ist leider auch noch ein waschechter Vorzeichenfehler drin, wie mir erst jetzt auffällt (ab der Zeile mit 1a)-2a)). unglücklich

Also mal zurück zu

$\begin{align*} 1)\qquad F_1 = F_2\sin\beta + F_3\sin\gamma \\ 2)\qquad0 = -F_2\cos\beta + F_3\cos\gamma \end{align*}$ ,

und jetzt so vorgehen: $\begin{align*} 1)\cdot \cos\gamma-2)\cdot \sin\gamma \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} F_1\cos\gamma = F_2(\sin\beta\cos\gamma~{\color{red}+}~\cos\beta\sin\gamma) = F_2\sin(\beta+\gamma) \end{align*}$

und damit $\begin{align*} \beta = \arcsin\left(\frac{F_1}{F_2}\cos\gamma\right)-\gamma \end{align*}$ .

05.01.2015, 19:30

Levaru

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@HAL9000
Danke für den Hinweis! Das passiert mir leiders öfters.

Ich hab leider deine erste Lösung nicht ganz verstanden aber

Zitat:

$\begin{align*} F_1\cos\gamma = F_2(\sin\beta\cos\gamma~{\color{red}+}~\cos\beta\sin\gamma) = F_2\sin(\beta+\gamma) \end{align*}$

und damit $\begin{align*} \beta = \arcsin\left(\frac{F_1}{F_2}\cos\gamma\right)-\gamma \end{align*}$

konnte ich ganz gut nachvollziehen da liegt meine Schwäche aber in den Trigonometrie Umformungen die mir nicht aufgefallen ist.

Es gibt also, wenn ich richtig verstanden habe, einmal den Weg über die quadratische Gleichung und einmal wie bereits oben erwähnt.

Ich möchte mich dann an dieser Stelle für eure Hilfe bedanken. Wink

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