Frage zu Ableitung

04.01.2015, 20:33

Morbz

Frage zu Ableitung

Hallo zusammen,
ich habe ein Problem mit der 2. Ableitung einer Funktion.

Die Ursprungsfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} y= r*sin(\alpha )-l*sin(\beta ) \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung ist:
$\begin{eqnarray*} y^{'}= r*w*cos(\alpha )-l*\beta^{'} cos(\beta ) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \alpha ^{'}=w \end{eqnarray*}$

Laut Lösung soll die zweite Ableitung nun:

$\begin{eqnarray*} y^{''}=-r*w²*sin(\alpha )+l*(\beta^{'})² sin(\beta )-l*\beta^{''} cos(\beta ) \end{eqnarray*}$

Die ersten 2 Teile sind kein Problem, allerdings frage ich mich, woher $\begin{eqnarray*} -l*\beta^{''} cos(\beta ) \end{eqnarray*}$ kommt!?

Produktregel ist das nicht, oder?

Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Morbz

04.01.2015, 21:00

Bürgi

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RE: Frage zu Ableitung
Guten Abend,

ich vermute, dass r, l Konstante sind und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ Funktionen derselben Veränderlichen (die hier aber nicht genannt wird)

Wenn dem so ist, dann muss $\begin{eqnarray*} (l*\beta^{'}) \cdot cos(\beta ) \end{eqnarray*}$ nach der Produktregel abgeleitet werden.

Achte auf das vorangestellte Minuszeichen.
Die angegebene Lösung ist richtig.

04.01.2015, 21:18

Morbz

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Vielen Dank für deine Antwort, Bürgi!
Jetzt verstehe ich, wie man auf den letzten Teil kommt.

Allerdings frage ich mich: Warum muss man bei
$\begin{eqnarray*} r*w*cos(\alpha ) \end{eqnarray*}$ nicht auch die Produktregel anwenden?

Gruß
Morbz

04.01.2015, 21:24

Bürgi

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Hallo,

Du hast natürlich recht, dass das ganze etwas suspekt ist. Aber solange nicht bekannt ist, welche Veränderlichen in den Funktionen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ benutzt wurden und wie die Funktionen im einzelnen aussehen, kann man diese Frage nicht beantworten.

04.01.2015, 21:31

Morbz

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l und r sind, wie du richtig festgestellt hast, Konstanten.

Die beiden Winkel haben folgenden Zusammenhang:
$\begin{eqnarray*} sin(\beta )=\frac{r}{l} * sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

Hilft das weiter?

04.01.2015, 21:57

Bürgi

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Hallo,

wenn das stimmt, dann wäre:

$\begin{eqnarray*} y= r*sin(\alpha )-l*sin(\beta ) \end{eqnarray*}$ <---- gegebene Funktion

$\begin{eqnarray*} y= r*sin(\alpha )-l*\frac{r}{l} * sin(\alpha ) = 0 \end{eqnarray*}$

... und das glaube ich nicht verwirrt

04.01.2015, 22:05

Morbz

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Vielleicht hätte ich dazu schreiben sollen, dass dies eine Aufgabe aus dem Bereich Technische Mechanik ist.
Die Gleichung betrifft einen Punkt, der sich nicht in y-Richtung bewegt.
Von dem her passt es, dass y=0 ist.
(Für x gibt es auch eine Gleichung, diese ist allerdings nicht =0: $\begin{eqnarray*} x= r*cos(\alpha )-l*cos(\beta ) \end{eqnarray*}$ )

Die erste bzw. zweite Ableitung sollte dann nach $\begin{eqnarray*} \beta^{'} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \beta^{''} \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden (Diese sind in der Aufgabe gefragt).

05.01.2015, 08:02

Bürgi

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Guten Morgen,

Zitat:

Die Ursprungsfunktion lautet:
$\begin{eqnarray*} y= r*sin(\alpha )-l*sin(\beta ) \end{eqnarray*}$

Da aber y = 0 sind alle Angaben aus dem Lösungsbuch unnötig und eventuell sogar falsch.

Wenn die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} x(\beta)= r*cos(\alpha )-l*cos(\beta )) \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine Konstante(?), deren Ableitung null ergibt.

Bevor wir jetzt ein lustiges Aufgabenraten anfangen, ist es m.E. besser, Du postest den kompletten Aufgabentext. Und wenn ich Dir wegen des physikalischen Kontextes nicht mehr weiterhelfen kann, hier im Forum gibt es genügend Mitglieder, die hervorragend Physik verstehen.
Nur Mut!

07.01.2015, 19:23

Morbz

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Vielen Dank für deine Antwort, Bürgi.
Ich bin jetzt selbst drauf gekommen.
In der Aufgabenstellung wird w als konstant angenommen. böse

Ich habe nochmal ein kleines Problem mit der Aufgabe:
Zu den oben genannten Gleichungen in y-Richtung gibt es noch diese in x-Richtung:

$\begin{eqnarray*} x= r*cos(\alpha )+l*cos(\beta ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{'}= -r*w*sin(\alpha )-l*\beta^{'}*sin(\beta ) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \alpha ^{'}=w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{''}=-r*w²*cos(\alpha )-l*\beta^{''} sin(\beta )-l*(\beta^{'})² cos(\beta ) \end{eqnarray*}$

Nun soll man durch auflösen:
$\begin{eqnarray*} sin(\beta )=\frac{r}{l}*sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\beta )=\sqrt{1-(\frac{r}{l}*sin(\alpha ))^2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta^{'}=w*\frac{r}{l} \frac{cos(\alpha )}{cos(\beta )} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta^{''}=-w^2*\frac{r}{l}*\frac{sin(\alpha )}{cos(\beta )}+(\beta^{'})^2*\frac{sin(\beta )}{cos(\beta )} \end{eqnarray*}$

Drei der vier Auflösungen sind kein Problem, allerdings scheitere ich an: $\begin{eqnarray*} cos(\beta )=\sqrt{1-(\frac{r}{l}*sin(\alpha ))^2 } \end{eqnarray*}$

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie man das macht?

Viele Grüße
Morbz

07.01.2015, 21:29

Bürgi

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Guten Abend,

wie Du weißt, gilt

$\begin{eqnarray*} (\cos(\beta))^2 + (\sin(\beta))^2=1~\implies~|\cos(\beta)|=\sqrt{1-(\sin(\beta))^2} \end{eqnarray*}$

Nun gilt laut Deinem 3. Beitrag:

Zitat:

Die beiden Winkel haben folgenden Zusammenhang: $\begin{eqnarray*} sin(\beta )=\frac{r}{l} * sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

Ersetze sin(ß) in der ersten Gleichung durch die rechte Seite der letzten Gleichung - und Du bist fertig.

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