Linearisierung einer DGL

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Hansruedi und Bänz Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisierung einer DGL
Meine Frage:
Wir haben folgende Differentialgleichung die wir linearisieren sollen.



, , , und sind alles Konstanten.

Der Arbeitspunkt soll sein.

Leider finden wir den grünen Zweig nicht und hoffen hier um Hilfe.

Meine Ideen:
Wir wissen, dass man beim Linearisieren eine Annäherung beim Arbeitspunkt mit folgender Formel macht.

Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir entwickeln den Strom in der Nähe des Arbeitspunktes

_______________(1)

Die 1.Ableitung ist offenbar

____________(2)

Einsetzen von (1) in den nichtlinearen Term ln(...) und dessen anschließende Taylorentwicklung nach liefert

____________(3)

Einsetzen von (1), (2), (3) in die Differentialgleichung liefert



Umordnen liefert eine inhomogene lineare Gleichung für



Die Lösung dieser Differentialgleichung ist aufgrund der Näherung natürlich nur für "kleine" Abweichungen brauchbar. Setzt man die Lösung in (1) ein, hat man den gesuchten Strom in der Nähe des Arbeitspunktes. Dieser Arbeitspunkt ist laut Aufgabenstellung die Anfangsbedingung, also . Diese Anfangsbedingung kann beliebig gewählt werden.
Hansruedi_Bänz Auf diesen Beitrag antworten »
Exakte Lösung
Vielen Dank für die rasche Antwort Ehos!

Der grüne Zweig ist nun gefunden.

Jedoch müssen wir jetzt die exakte Lösung herleiten, diese ergibt sich ja aus der folgenden Formel:



y_homogen erhält man ja, wenn man den homogenen Teil der Gleichung = 0 setzt und mittels Variablentrennung und unbestimmter Integration berechnet.

Die partikuläre Lösung behandelt ja die Störfunktion. Diese ist meiner Meinung nach:



Das ist ja eine Exponentialfunktion und die werden ja mit dem Ansatz für Exponentialfunktionen gelöst.

Doch wie kommen wir von der ln Funktion auf eine e Funktion?

Und stimmen diese Annahmen überhaupt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hansruedi_Bänz
Jedoch müssen wir jetzt die exakte Lösung herleiten, diese ergibt sich ja aus der folgenden Formel:


Stop! Wo du da so schnell drüberweg fliegen willst, muss man sofort einhaken: Die Original-DGL ist alles andere als linear, und für die klappt dieses Rechenschema "homogen + partikulär" nicht. unglücklich

Falls du aber die (von Ehos hergeleitete) linearisierte DGL meinst, die ja (nur) eine Approximation der Original-DGL ist, dann ist die Bezeichnung "exakte Lösung" reichlich irreführend. verwirrt
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Hal 9000 eben sagte, kann man die ursprüngliche, nichtlineare Gleichung in der Regel nicht formelmäßig lösen. Das war ja gerade der Grund, weshalb wir diese Gleichung linearisiert haben!!!

Ich schreibe dir kurz auf, wie man die linearisierte Gleichung löst. Diese lautete



Dabei waren und gewisse Konstanten. Die Konstante s ist die "Störfunktion". Eine partikuläre Lösung ist offenbar die Konstante . Die homogene Lösung (ohne Berücksichtigung der Anfangsbedingung) ist , wobei C eine noch unbekannte Konstante darstellt. Wie du richtig sagst, ist allgemeine Lösung die Summe :



Die noch unbestimmte Konstante C ergibt sich durch die Anfangsbedingung. Du hattest gefordert (=Arbeitspunkt). Da wir gesetzt hatten , haben wir also die Anfangsbedingung . Setze das in die genannte allgemeine Lösung ein und bestimme somit C. Damit hast du und kannst auch die usprünglich gesuchte Funktion hinschreiben. Zu beachten ist, dass dies nur eine Näherung ist, welche für kleine gilt. Diese Einschränkung ist der "Preis", den man für die Vereinfachung der Gleichung durch Linearisierung zahlen muss.
Hansruedi_Bänz Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist die partikuläre Lösung s/a, wie kommst du darauf?
Ich hätte eher gedacht, dass die partikuläre Lösung so aussieht wie die homogene, also mit einer e-Funktion..
 
 
Hansruedi_Bänz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hast du recht HAL 9000 exake Lösung ist da der falsche Begrif! Sorry.

Wieso ist die partikuläre Lösung s/a, wie kommst du darauf?
Ich hätte eher gedacht, dass die partikuläre Lösung so aussieht wie die homogene, also mit einer e-Funktion..

Willkommen im Matheboard!
Du hast Dich hier mit zwei Accounts angemeldet. Dein erster Account "Hansruedi und Bänz" wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Setze mal zur Probe die konstante partikuläre Lösung in die Diffenetialgleichung ein. Dann entfällt der 1.Summand, weil die Ableitung einer Konstanten verschwindet, und man hat



Im 2.Summanden kürzt sich das a heraus...
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