Determinante gleich Produkt Determinante zweier Untermatrizen

06.01.2015, 21:33

Jule234

Determinante gleich Produkt Determinante zweier Untermatrizen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei eine quadratische Matrix der Form
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \end{eqnarray*}$ quadratische Untermatrtzen sind.

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} det A = (det A_1)(det A_2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also die Determinante von A ist gleich: $\begin{eqnarray*} A_1*A_2 - B*0 = A_1*A_2 \end{eqnarray*}$

Und wenn $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ quadratische UNTERmatrizen einer 2x2-Matrix darstellen sind diese dann nicht Automatisch eine einzeilige, - und spaltrige Matrix und damit $\begin{eqnarray*} A_1,A_2 \end{eqnarray*}$ selbst!

Laut meiner Argumentation ist die Aufgabe gelöst! Was sagt ihr?! Augenzwinkern

Lg Jule

06.01.2015, 22:12

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage nein.

Du könntest mal die Abbildung $\begin{eqnarray*} d:M_{n\times n}(K)\to K, X\mapsto (\det C)^{-1}\cdot \begin{pmatrix} X & B \\ 0 & C \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ betrachten und zeigen, dass sie gerade die definierenden Eigenschaften der Determinante erfüllt.

06.01.2015, 22:21

Jule234

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das könnte ich mal versuchen!

Doch bei deiner betrachtungsweise komme ich ja bei dem gleichem Punkt zum straucheln!
Dein C stellt ja eine Untermatrix da, nur wie sieht eine Untermatrix einer 2x2 Matrix aus?!

lg

06.01.2015, 22:42

Jule234

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch schon so versucht:

Sei $\begin{eqnarray*} A_1=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2=\begin{vmatrix} e & f \\ g & h \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Produkt dieser beiden Matrizen ( $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ )

müsste ja gleich dem Produkt dieser Determinanten ( $\begin{eqnarray*} (ad-bc)(eh-fg) \end{eqnarray*}$ )

sein! Also ich bin mir ziemlich sicher dass das stimmt! Kann ich da irgendwie gleichheit überprüfen?!

08.01.2015, 16:25

Jule234

Auf diesen Beitrag antworten »

*push*

Waren meine Ansätze so verkehrt
oder kann/will sich mir keiner annehmen? traurig

08.01.2015, 16:58

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du das alle nur für $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ zeigen?

08.01.2015, 17:13

Jule234

Auf diesen Beitrag antworten »

Er gibt mir doch eine 2x2 vor, oder nicht?

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_1 & B \\ 0 & A_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.01.2015, 14:36

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jule234
Er gibt mir doch eine 2x2 vor, oder nicht?

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_1 & B \\ 0 & A_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, $\begin{align*} A_1,A_2 \end{align*}$ sind beliebige quadratische Matrizen, u.U. von unterschiedlicher Dimension (d.h. $\begin{align*} B \end{align*}$ muss keine quadratische Matrix sein).

Man kann nun zeigen, dass $\begin{align*} \operatorname{det}(A) \end{align*}$ unabhängig von $\begin{align*} B \end{align*}$ ist, d.h. $\begin{align*} B \end{align*}$ kann auch die Nullmatrix sein. Da man nun schreiben kann
$\begin{align*} \begin{pmatrix}A_1&0\\0&A_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_1&0\\0&\mathbf 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\mathbf 1&0\\0&A_2\end{pmatrix} \end{align*}$
folgt mit dem (hoffentlich bekannten) Satz über Determinantenmultiplikation die Behauptung.

Neue Frage »

Antworten »

Determinante gleich Produkt Determinante zweier Untermatrizen

Verwandte Themen