Quadrik mit 2 Parametern

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Hofi92 Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrik mit 2 Parametern
Liebe ForianerInnen,

ich stecke gerade bei einer Staatsexamensaufgabe Lehramt GSHSRS Bayern in einer Sackgasse.


Themengruppe 1 Aufgabe 2

Die Quadrik lautet:
={(x,y) ² | sx² + 2txy + y² - y = 0 }

Bei der Bestimmung des Typen der Quadrik habe ich mir schon folgendes überlegt:

Um die Eigenwerte herauszufinden wollte ich bereits das charakteristische Polynom ausrechnen, jedoch komme ich bei der Form ² - (s + 1)* + (t² + s) nicht weiter, da ich keine Eigenwerte (nicht einmal mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen) ausrechnen kann.
Außerdem weiß ich
={ ² | ( x y ) A + + c = 0 }
mit der Matrix A =
und b = und c = 0 .

Da ich so nicht weiter gekommen bin habe ich esüber quadratische Ergänzung versucht, jedoch bin ich daran gescheitert, wie und was ich ergänzen muss/soll.
Meine Lösung wäre:
( * x + y )² + y (2x * (t - ) - 1) = 0, jedoch weiß ich nicht ob im zweiten Summanden x und y auftauchen dürfen, wenn ja wäre es meiner Meinung nach eine Parabel, da die Form - z = 0 am nähesten zutreffen würde, jedoch weiß ich nicht, ob die Determinante det (A) = s - t² positiv, negativ oder gleich 0 ist.

Eine weitere Überlegung war, dass man es über die Mittelpunktberechung versuchen kann, mit 2 * A * m = - b und wenn kein Mittelpunkt existiert, es eine Parabel ist, ansonst, muss man leider von vorne anfangen. Kein Mittelpunkt existiert, wenn das Lösungssystem A * m = - * b nicht lösbar ist mit ( A | - * b).

Ich hoffe es ist verständlich, ich habe gerade das erste Mal LATEX verwendet und bin (fast) gescheitert (ähnlich wie beim Quadriken lösen) Augenzwinkern
Wäre froh, wenn mir jemand weiterhelfen kann und mir zumindest den Einstieg erleichtern kann.
Danke im Voraus.
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RE: Quadrik mit 2 Parametern
Du hast dich beim charakteristische Polynom vertan.
Richtig ist
Hofi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir,
jedoch ändert sich in der "Mitternachtsformel" nur, dass eine Summe unter der Wurzel steht, was leider nicht auflösbar ist.

Des Problem liegt meiner Meinung nach immer an den zwei Parametern...

Danke trotzdem.
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Zumindest kann man sich überlegen, dass der "+" Teil immer positiv ist. Der "-" Teil führt dann wieder auf eine quadratische Gleichung. Sehr unschön.

Mit quadratischer Ergänzung bekam ich für

und daraus für

oder also

Vielleicht hilft dir das weiter
Hofi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Viielen Dank,
Dank deiner Hilfe hab ich mir dann den Weg selbst herleiten können. Danke.

Seh ich das jetzt richtig, dass ich jetzt noch die Sonderfälle s=0 und s-t²=0 betrachten muss?

Muss ich dann für den Fall s=0 nocheinmal extra eine quadratische Ergänzung machen? Eigentlich schon, oder weil mir ja der erste Summand ( s*x²) wegfällt, oder?
Jedoch habe ich dann noch 2*t*x*y + y² - y = 0, reicht mir da eine quadratische Ergänzung, oder muss ich hier auch 2 machen? Weil ich das Problem bei den zwei Summanden mit der y sehe, die kann ich doch nicht zusammenfassen?!

Für den Fall s-t²=0 kann ich dann in der Gleichung beginnen, die ich habe, bevor ich die Bedingung aufstelle, oder. Und dann muss ich nur noch schaun was mit der Gleichung passiert, wenn ich s-t²=0 einsetze.
Verstehe ich das richtig, wie ich weiter vorgehen muss?

Vielen Dank fürs Weiterhelfen,
ich dachte schon, ich bin bei der Aufgabe verloren!
DANKE!!!!!
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Für s=0 kannst du eine oder zwei quadratische Ergänzungen machen. Es kommt das gleiche heraus

Den Fall hast du auch richtig verstanden.
 
 
Hofi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,
vielen Dank. Ich check des langsam alles und es gibt alles langsam einen Sinn Big Laugh (sehr genail, Danke!)

So, ich wollte nun mal nachfragen, ob ich bei meinen Ergebnissen richtig liege und zur b und c hätte ich auch noch Fragen:

Zu den Ergebnissen, ich habe für den allgemeinen Fall, dass es sich für s ist nicht 0 und s-t² ist nicht 0 um eine Ellipse handelt mit u²+v² = 1. Für den Fall s=0 um ein sich schneidendes Geradenpaar mit u²-v²=0.
Bei dem Fall s-t²= 0 gibt es zwei Unterfälle: einmal t ist nicht 0, dann ist es eine Parabel mit u²-v=0 und für t=0 um ein paralleles Geradenpaar mit u²=1.
(Ich spreche natürlich immer von der affinen Normalform smile !)
Bin ich da auf dem richitgen Weg?


Dann ist bei der b nach einer Menge der Quadriken, die keinen eindeutigen Mittelpunkt haben, gefragt. diese Quadriken soll man bestimmen. (siehe auch Doc oben)
Heißt dass nun, dass mit "kein eindeutiger Mittelpunkt" der Fall s-t² = 0 und gleichzeitig t ist nicht 0 gemeint ist, der zur affinen Normalform einer Parabel führt? Ist hierbei nur die Parabel gemeint, oder auch der fall s-t² = 0 und gleichzeitig t= 0, der zur affinen Normalform eines parallelen Geradenpaars fürht? Hießt also kein eindeutiger Mittelpunkt, das gleiche wie kein Mittelpunkt? Ich habe gedacht, dass nur die Parabel keinen Mittelpunkt besitzt, oder hab ich das falsch verstanden.
ist die gesucht Quadrik dann diejenige, die ich verwendet habe, bevor ich den Fall s-t² ist nicht 0 beachten muss? (also, deine Quadrik in der zweiten Zeile quasi?)

Bei der c ist dann der Mittelpunkt gesucht, für alle Quadriken, bei denen der in b genannte Fall ausgeschlossen ist.
Den Mittelpunkt berechne ich mit Hilfe der Formel 2*A*m = - b. Diesen muss ich aber für alle Fälle extra bestimmen, oder? Muss ich dann die jeweiligen Quadriken verwenden, oder?
Oder kann ich den Mittelpunkt auch immer von der Form nach der affinen Variablentransformation ablesen?
Oder wie mach ich das sonst , den Mittelpunkt berechnen?

Vielen Dank im Voraus, ich hoffe es war nicht zu viel auf einmal.
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Wenn das stimmt, was ich da gerechnet habe, kann ein Koeffizient negativ sein....
Falls nicht, ist es eine Ellipse, aber die schreibt man in der Form . Sonst wäre es immer ein Kreis.

Der Rest passt.

Bei den anderen Aufgaben kann ich leider nicht helfen, ich verstehe nicht einmal die Frage unglücklich
Hofi92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Stimmt, das hab ich gar nicht bedacht!
Danke.

Weißt du aber vielleicht, qwie man den Mittelpunkt einer Quadrik ausrechnet?
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Keine Ahnung, aber vielleicht hilft Quadriken, wie bestimme ich den Mittelpunkt
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