Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (R,B) mit Dichte

07.01.2015, 20:34

Malicious

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Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (R,B) mit Dichte

Meine Frage:
Hallo,

ich muss folgendes beweisen:

B:= Borelmenge

Die zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , B) gehörende Verteilungsfunktion F ist genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} P({x_{0}}) \end{eqnarray*}$ = 0.

Meine Ideen:
also dazu hatten wir den Satz bewiesen, dass wenn P eine WK-Verteilung auf ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , B) mit der Dichte f, so gilt für alle x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R, P({x_{0}})= 0 \end{eqnarray*}$

also das hier $\begin{eqnarray*} P({x_{0}})= 0 \end{eqnarray*}$ , bedeutet doch das die WK einer einelemnetigen Menge gleich Null ist...

Ich weiß aber gerade gar nicht, was ich genau machen soll :-/ Vielleicht kann mir jemand helfen...

07.01.2015, 20:39

Malicious

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Formale Ergänzung noch , da muss natürlich überall noch ne Geschweifte Klammer mitrein..P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= 0

07.01.2015, 22:47

Malicious

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Also das ist ein Beweis mit Hin-und Rückrichtung... Sprich

$\begin{eqnarray*} " \rightarrow" \end{eqnarray*}$ F ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_{0} \rightarrow \end{eqnarray*}$ P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= 0

$\begin{eqnarray*} " \leftarrow" \end{eqnarray*}$ P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ }) =0 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ F ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß nicht, was ich da jetzt genau machen soll, ich kann mir das irgendwie nicht richtig vorstellen verwirrt

verwirrt

Hilfe

unglücklich

08.01.2015, 10:44

Malicious

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Ich habe leider immer noch keine Idee unglücklich

unglücklich

Aber ich wüde gerne weiterkommen mit der Aufgabe...

08.01.2015, 11:37

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} F(x_0) = P((-\infty,x_0]) \end{align*}$ , und für den linksseitigen Grenzwert gilt wegen der Maßstetigkeit

$\begin{align*} \lim_{x\nearrow x_0} F(x) = \lim_{x\nearrow x_0} P((-\infty,x]) \stackrel{!}{=} P\left( \bigcup\limits_{x<x_0} (-\infty,x] \right) = P((-\infty,x_0)) \end{align*}$ .

Stetigkeit in $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ bedeutet insbesondere $\begin{align*} F(x_0) = \lim_{x\nearrow x_0} F(x) \end{align*}$ , und demnach...

08.01.2015, 13:22

Malicious

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Hallo Hal,

danke für deinen Hinweis!

ich werde gleich mal weiter überlegen und hoffe du bist später noch erreichbar :-)

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08.01.2015, 22:39

Malicious

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Hallo Hal,

ich bin wieder da.... Ich habe jetzt folgendes aufgeschrieben:

Sei $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig vorgegeben. Für den Nachweis $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow x_{0}}F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ = F( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) genügt es offenbar zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) = F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ für jede monton falende und gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ aus ( $\begin{eqnarray*} x_{0}; \infty \end{eqnarray*}$ ) erfüült ist. Ist solch ine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ geben, so setzen wir $\begin{eqnarray*} A_{n}:=(-\infty,x_{0}] \end{eqnarray*}$ und stellen fest, dass

$\begin{eqnarray*} A_{1} \subseteq ... \subseteq A_{n} \subseteq A_{n+1} \subseteq ... \subseteq\bigcap_{m=1} A_{m} = A_{0} \end{eqnarray*}$ := { $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} A_{n} {\searrow }A_{m} \end{eqnarray*}$ und damit

(1) F( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) - $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) = \lim_{x \to \infty } P(A_{n}) =P(A_{0}) \end{eqnarray*}$ = P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= 0 erfüllt, da klarerweise $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ aus [/l]

$\begin{eqnarray*} P(A_{n})= P((x_{n},x_{0}]) = P((-\infty,x_{0}])- P((-\infty,x_{n}]) = F(x_{0}) - F(x_{n}) \end{eqnarray*}$

gilt, was insbesondere die Exsitenz des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) \end{eqnarray*}$ zeigt.

Nehmen wir an, dass F an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ linksseitig stetig ist, so liefert (1), indem ich die durch $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} x_{0}-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ definierte Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ betrachte, P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= $\begin{eqnarray*} F(x_{0}) - \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) \end{eqnarray*}$ =0

Nehmen wir nun umgekehrt an, dass P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ }) = 0 erfülllt ist, so liefert (1) dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n})=F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ .

Für jede monoton wachsende und gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (-\infty,x_{0}) \end{eqnarray*}$ erfüllt sein muss, womit die linksseitige Stetigkeit von F an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gezeigt ist.

Also ich hoffe das ist irgendwie richtig Tränen

Tränen

09.01.2015, 09:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
Für den Nachweis $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow x_{0}}F(x) \end{eqnarray*}$ = F( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) genügt es offenbar zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) = F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ für jede monton falende und gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ aus ( $\begin{eqnarray*} x_{0}; \infty \end{eqnarray*}$ ) erfüült ist.

Richtig - aber warum willst du gerade das zeigen? Diese Rechtsstetigkeit ist für jede Verteilung und jedes $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ erfüllt, auch im Fall $\begin{align*} P(\{x_0\})>0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Malicious
Ist solch ine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ geben, so setzen wir $\begin{eqnarray*} A_{n}:=(-\infty,x_{0}] \end{eqnarray*}$ und stellen fest, dass

$\begin{eqnarray*} A_{1} \subseteq ... \subseteq A_{n} \subseteq A_{n+1} \subseteq ... \subseteq\bigcap_{m=1} A_{m} = A_{0} \end{eqnarray*}$ := { $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} A_{n} {\searrow }A_{m} \end{eqnarray*}$

Eine massive Ansammlung von Fehlern: Ich nehme mal an, du meinst $\begin{eqnarray*} A_{n}:=(-\infty,x_{n}] \end{eqnarray*}$ . In dem Fall gilt aber

$\begin{eqnarray*} A_{1} \supseteq \ldots \supseteq A_{n} \supseteq A_{n+1} \supseteq ... \supseteq\bigcap_{m=1}^{\infty} A_{m} = (-\infty,x_{0}] \end{eqnarray*}$ .

Über den Rest des Abschnittes lohnt es sich nicht zu sprechen, da nun eh alles nochmal überarbeitet werden muss.

09.01.2015, 10:47

Malicious

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Hallo Hal,

oh man -.- das ist mir auch gerade aufgefallen, dass mein Teilmengensymbol verkehrt herrum ist... ich werde das natürlich korrigieren... später :-)

*DerBeste... was soll denn dein doofer Kommentar? Dann mach's doch besser! >:-|

Edit: Spambeiträge wurden entfernt, "DerBeste" existiert hier nicht mehr. LG Iorek

09.01.2015, 18:24

Malicious

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Hallo Hal,

achsoo ich glaub ich weiß was du mit deinem ersten Einwand meinst, da wir ja davon ausgehen, dass F eine Verteilungsfunktion ist, wissen wir aus diesen 3 Eigenschaften einer Verteilungsfuntkion, dass F rechtsstetig ist.... OK? Hammer

Hammer

also müssen wir uns noch die linksseitige stetigkeit anschauen ....

Ich setze also $\begin{eqnarray*} A_{n}:=(-\infty,x_{0}] \end{eqnarray*}$ und stelle fest, dass

$\begin{eqnarray*} A_{1} \supseteq \ldots \supseteq A_{n} \supseteq A_{n+1} \supseteq ... \supseteq\bigcap_{m=1}^{\infty} A_{m} = (-\infty,x_{0}] \end{eqnarray*}$ .

also $\begin{eqnarray*} A_{n} {\searrow }A_{0} \end{eqnarray*}$ da P ein endliches Maß ist gilt $\begin{eqnarray*} P(A_{1}) < \infty \end{eqnarray*}$ damit

(1) F( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) - $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) = \lim_{x \to \infty } P(A_{n}) =P(A_{0}) \end{eqnarray*}$ = P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= 0 erfüllt, da klarerweise $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} P(A_{n})= P((x_{n},x_{0}]) = P((-\infty,x_{0}])- P((-\infty,x_{n}]) = F(x_{0}) - F(x_{n}) \end{eqnarray*}$

gilt, was insbesondere die Exsitenz des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) \end{eqnarray*}$ zeigt.

Nehmen wir an, dass F an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ linksseitig stetig ist, so liefert (1), indem ich die durch $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} x_{0}-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ definierte Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ betrachte, P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= $\begin{eqnarray*} F(x_{0}) - \lim_{x \to \infty } F(x_{n}) \end{eqnarray*}$ =0

Nehmen wir nun umgekehrt an, dass P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ }) = 0 erfülllt ist, so liefert (1) dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x_{n})=F(x_{0}) \end{eqnarray*}$ .

Für jede monoton wachsende und gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (-\infty,x_{0}) \end{eqnarray*}$ erfüllt sein muss, womit die linksseitige Stetigkeit von F an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gezeigt ist.

Ist das so besser geworden?

09.01.2015, 21:28

Malicious

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Ich brauche auch noch Hilfe ...

Kann mir bitte vielleicht noch jemand anders helfen??

10.01.2015, 14:07

Malicious

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Hallo Hal,

Falls du da bist, kannst du mir bitte noch helfen, würde die Aufgabe gerne noch fertig bekommen :-)

...

10.01.2015, 14:13

HAL 9000

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Es nervt mich ungemein, wenn dieselben scheußlichen Grundfehler wieder und wieder gemacht werden:

Zitat:

Original von Malicious
Ich setze also $\begin{eqnarray*} A_{n}:=(-\infty,x_{0}] \end{eqnarray*}$

Das ist eine konstante Folge - was soll das bringen?

Später dann steht - völlig aus der Luft gegriffen - plötzlich $\begin{align*} P(A_{n})= P((x_{n},x_{0}]) \end{align*}$ .

Wenn du nicht ordentlich aufschreibst, über welche Mengen du da redest, bin ich nicht bereit, mich durch deine Formeln zu graben.

10.01.2015, 15:24

Malicious

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Ja entschuldige, ich hab es doch nur versucht mathematisch auszudrücken, vielleicht sollte ich es doch so einfach wie möglich aufschreiben unglücklich

unglücklich

Aber genau deswegen frage ich ja nach, wenn ich schon wüsste was ich wie aufzuschreiben habe, brauche ich ja nicht zu fragen....

Ich schau mal ob ich was sinnvolles produzieren kann, aber trotzdem danke...

10.01.2015, 20:56

Malicious

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Ich weiß gerade nicht so recht wie ich weiter machen soll, weil ich ja eh alles falsch aufschreibe...

Ich bin voll verunsichert -.- ... so ne scheiss Aufgabe

10.01.2015, 21:19

HAL 9000

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Ich wollte dir ja nicht reinreden, soll ja jeder seinen eigenen Weg wählen können. Aber mit dem Ansatz, den ich ganz oben begonnen hatte, sind es nur noch so ein, zwei Zeilen...

10.01.2015, 23:14

Malicious

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Also gut aber wenn ich nun deinen Ansatz weiter verfolge was soll denn aus

$\begin{eqnarray*} F(x_{0}) = \lim\limits_{x\nearrow x_0} F(x) \end{eqnarray*}$ .......folgen?

das hier ...

$\begin{eqnarray*} F(x_{0}) = \lim\limits_{x\nearrow x_0} F(x) \end{eqnarray*}$ = P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= 0 ?

un dann bleibt noch das hier zu betrachten aus P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= 0 folgt linksseitige Stetigkeit von F an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ .Da F ohnehin rechtsstetig ist, folgt dann auch die Stetigkeit von F an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$

Meinst du das so?

11.01.2015, 00:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist $\begin{align*} F(x_0) = P((-\infty,x_0]) \end{align*}$ , und für den linksseitigen Grenzwert gilt wegen der Maßstetigkeit

$\begin{align*} \lim_{x\nearrow x_0} F(x) = \lim_{x\nearrow x_0} P((-\infty,x]) \stackrel{!}{=} P\left( \bigcup\limits_{x<x_0} (-\infty,x] \right) = P((-\infty,x_0)) \end{align*}$ .

Stetigkeit in $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ bedeutet insbesondere $\begin{align*} F(x_0) = \lim_{x\nearrow x_0} F(x) \end{align*}$ , und demnach...

... $\begin{align*} P((-\infty,x_0]) = P((-\infty,x_0)) \end{align*}$ , und da man links zerlegen kann

$\begin{align*} P((-\infty,x_0]) = P((-\infty,x_0)) + P(\{x_0\}) \end{align*}$ ,

sollte ja wohl alles klar sein.

11.01.2015, 01:39

Malicious

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Ja es geht also, woran erkenne ich denn jetzt, dass das hier P({ $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ })= 0 gilt?

Das ist mir leider noch nicht klar geworden verwirrt

verwirrt

11.01.2015, 10:21

HAL 9000

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Du kannst nicht erkennen, wie aus

$\begin{align*} P((-\infty,x_0)) + P(\{x_0\}) = P((-\infty,x_0)) \end{align*}$

dann $\begin{align*} P(\{x_0\}) = 0 \end{align*}$ folgt??? geschockt

geschockt

11.01.2015, 10:30

Malicious

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Hallo Hal,

Das war bestimmt Uhrzeit bedingt, jetzt erkenne ich es natürlich Big Laugh

Big Laugh

aber schaust du mal bitte was du in dem Kommentar davor stehen hattest... Da war bei dem einen Intervall noch ne eckige klammer drin, wie gesagt war bestimmt einfach nur ein Tippfehler, jetzt hast du es ja korrigiert und ich sehe es Big Laugh

Big Laugh

... Alles super

Vielen Dank und einen schönen Sonntag noch Freude

Freude

11.01.2015, 10:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
Da war bei dem einen Intervall noch ne eckige klammer drin, wie gesagt war bestimmt einfach nur ein Tippfehler, jetzt hast du es ja korrigiert

Ich habe gar nichts korrigiert! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

$\begin{align*} P((-\infty,x_0]) = P((-\infty,x_0)) + P(\{x_0\}) \end{align*}$ ergibt sich schlicht aus $\begin{align*} (-\infty,x_0] = (-\infty,x_0) \cup \{x_0\} \end{align*}$ .

Und $\begin{align*} P((-\infty,x_0]) = P((-\infty,x_0)) \end{align*}$ hat sich aus $\begin{align*} F(x_0) = \lim_{x\nearrow x_0} F(x) \end{align*}$ ergeben.

Wenn du mir hier Fehler unterstellen willst, nur weil du nicht richtig mitdenkst. böse

böse

11.01.2015, 11:00

Malicious

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Ja ich hab tatsächlich über diese Vereinigung der Mengen gar nicht nachgedacht.... Oh man entschuldige Tränen

Tränen

Jaaaaa die Smilies von dir hab ich wirklich alle verdient!!! Hammer

Hammer

Ich wollte dir aber nichts schlimmes unterstellen unglücklich

unglücklich

Dankeeeeee

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