Bijektive Abbildung zwischen NxNxN und N

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Agyriant Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektive Abbildung zwischen NxNxN und N
Meine Frage:
Hallo,
Ich moechte eine Abbildung zwischen und finden.

Meine Ideen:
Mir ist klar das es bijektive Abbildungen zwischen und gibt, dazu brauche ich nur ein -Dimensionales Gitter abzaehlen. Mein Problem ist es die Abbildung in der Form schoen zu beschreiben. Was ich zusammengebracht habe, ist eine Funktion von die, die Flaechen normal zur Raumdiagonale eines nummeriert. Leider hat diese Funktion 13 Fallunterscheidungen und ist sehr haesslich.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Primfaktorzerlegung benutzen: Seien p und q zwei fest gewählte verschiedene Primzahlen

Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig in der Form schreiben, wobei k weder durch p noch durch q teilbar ist.

Dies gibt einem eine Bijektion

Durch Shiften der Indizes kannst du natürlich noch erreichen, dass jedes mal die Null entweder dabei ist oder eben nicht (Je nachdem ob sie nach deiner Konvention drin ist).

PS: Es ist natürlich sofort klar, wie man das auf das kartesische Produkt beliebig viele Kopien der natürlichen Zahlen verallgemeinern kann: Man nimmt einfach mehr Primzahlen. smile
Agyriant Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist das eine bijektive Abbildung?

Angenommen


Dann ist doch und somit nicht bijektiv?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Berechtigter Einwand. Ich nehme an, tmo hat es so gemeint:



wobei die aufsteigend geordnete Folge aller positiven Zahlen ist, die weder durch noch durch teilbar sind.
Agyriant Auf diesen Beitrag antworten »

Das waere also .

Danke Euch beiden fuer die Hilfe!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da hat aber einer gebastelt. Big Laugh

Ok, ist tatsächlich eine passende explizite Darstellung im Fall . Für andere allerdings nicht, weswegen du schon noch hättest dazu schreiben müssen. Augenzwinkern
 
 
Agyriant Auf diesen Beitrag antworten »

Klar. Ich hab das beim Latex copy paste wohl vergessen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so habe ich es tatsächlich gemeint. Im Allgemeinen (vor allem wenn man mehr als 2 Primzahlen betrachtet) wird es natürlich schwer sich diese Folge explizit zu basteln.

Ist man jedoch beispielsweise bereit nur Injektivität zu fordern (Was durchaus eine akzeptable Einschränkung darstellt, denn dass es eine injektive Abbildung gibt, ist ja das, was im ersten Moment verblüffen mag), so hat man folgendes allgemeines Resultat, welches eine Injektion explizit angibt:

Sind verschiedene Primzahlen, so ist durch



eine Injektion gegeben.
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