Lineare Hülle, Dimension, Beweis |
08.01.2015, 15:33 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lineare Hülle, Dimension, Beweis Hey Leute folgendes Problem: Ich möchte bzw. soll zeigen; Gegeben ist ein Vektorraum über dem Körper K mit, 1) 2) Meine Ideen: also die 2) habe ich noch nicht gemacht bzw mir gedanken dazu gemacht... möchte erst mal die 1) fertigstellen. ich hab das mal so angefangen... meine begründung für das was ich gemacht habe und wobei ich mir unsicher bin ist: dadurch das sich x als linearkombination schreiben lässt und die lineare hülle die menge aller linearkombinationen ist, ist dieses x in der linearen hülle wo das x selbst drinnen ist, auch wieder enthalten. Stimmt das soweit oder liege ich total falsch ? wär klasse wenn sich jemand meiner annimmt ... lg schachtelkopf |
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09.01.2015, 11:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hilft nichts, denn ist wegen schon klar. Du musst dir erst mal klarmachen, was du beweisen möchtest. |
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09.01.2015, 14:39 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich verstehs leider nicht ... |
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09.01.2015, 15:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei 1) und 2) sind logische Äquivalenzen zu zeigen. Also jeweils zwei Implikationen und . Bei 1) musst du auf der rechten Seite eine Mengengleichheit, d.h. die beiden Teilmengeneinschaften (linke Menge Teilmenge der rechten Menge, rechte Menge Teilmenge der linken Menge) und bei 2) musst du Gleichheit der Dimensionen zeigen. Mir ist klar, dass 1) ... sofort 2) ... impliziert, denn wenn die Vektorräume gleich sind, sind auch ihre Dimensionen gleich. Daher genügt es, nach dem Beweis von 1) bei 2) die Implikation zu beweisen. |
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09.01.2015, 15:25 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahhh ok .... jetzt muss ich also bei 1) noch zeigen dass dann hätte ich ja die richtung fertig ? und dann halt noch |
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09.01.2015, 15:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. (Des Rätsels Lösung: Totengräber.) |
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09.01.2015, 15:41 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(Des Rätsels Lösung: Totengräber.) ok also ich würde das dann mal so anpacken... jetzt muss ich noch zeigen dass das y bzw die linearkombination in der linearen hülle [x_1,...,x_n] steckt und das mache ich indem ich sie gleichsetze. also: kann ich das so machen ? |
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09.01.2015, 18:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Aber aus den beiden Gleichungen lässt sich etwas machen. Der Trick ist doch gerade, dass aus der Voraussetzung über x die Teilmengenbeziehung folgt. |
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09.01.2015, 19:06 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mhh also meinst du das ich dann so darstelle weil ja laut vorraussetzung enthalten ist..und somit x eine linearkombination. dann bekomme ich und jetzt hab ich ja y als linearkombination nur aus dargestellt |
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09.01.2015, 19:49 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau so geht das, und damit hast du einen Teil der Aufgabe gelöst. |
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09.01.2015, 20:07 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt muss ich ja noch zeigen das müsste doch aber sowieso gelten da offensichtlich gilt, und weil des eine linearkombination ist. oder zeige ich das wieder durch ein belibiges element ? |
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09.01.2015, 20:48 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Aussage ist nicht erforderlich. Es gilt die Folgerung . |
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09.01.2015, 21:18 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah ok danke bekomme ich einen tipp das ich zeige das aus folgt? |
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10.01.2015, 01:18 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber das ist doch mit der Gleichheit der beiden Spans bereits gezeigt. Du kannst zu einer Erzeugendenmenge eines Vektorraums immer ein weiteres Element aus diesem VR hinzunehmen ohne ihn zu ändern, da dieses Element linear von den anderen Erzeugenden abhängig sein muss. Konkret: . |
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10.01.2015, 13:10 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahhh sehr gut .... jetzt verstehe ich ich versuch mich dann mal an der 2) vll bekomme ich ja des hin |
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10.01.2015, 13:29 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also die brauch ich ja nicht mehr machen denn es gilt 2 dimensionen sind gleich wenn ihre vektorräume gleich sind .. was wir schon bei 1) gezeigt haben. (das die vektorräume gleich sind) und folgt doch auch mit der selben argumentation von dir.... da jetzt die Dimensionen gleich sind folgt das die vektorräume gleich sind ... und nun können wir wieder vektoren hinzufügen ohne dabei was zu ändern ... das müsste es ja dann schon gewesen sein ? oder liege ich falsch ? |
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10.01.2015, 18:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Ganze sauber aufschreiben, dann bist du fertig. |
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11.01.2015, 11:15 | schachtelkopf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok sehr gut ich danke euch 2 |
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