Aussage über Kompaktheit beweisen

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Siggi3 Auf diesen Beitrag antworten »
Aussage über Kompaktheit beweisen
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Es geht um folgende Aufgabe:

Beweisen Sie: Jede Teilmenge U aus , deren Rand kompakt ist, hat die Eigenschaft, dass entweder U selbst, oder das Komplement von U kompakt ist.

Meine Ideen:
Also sicher bin ich mir nicht, ob meine Ansätze stimmen.. aber ich dachte mir folgendes:

wenn der Rand von U kompakt ist, ist er abgeschlossen und beschränkt. Das heißt es gibt eine offene Kugel, die U komplett enthält. Daraus folgt direkt, U ist beschränkt. Aber das würde nicht erklären, warum entweder U oder das Komplement von U beschränkt sind.. Vielleicht ist mein Ansatz auch völlig falsch.
Kann mir jemand helfen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher, dass die Behauptung stimmt?

Ist nicht die offene Einheitskugel ein Gegenbeispiel?
Siggi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh entschuldige, es muss zum Schluss heißen "... dass entweder U oder das Komplement von U beschränkt ist." Nicht kompakt.
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussage über Kompaktheit beweisen
Zitat:
Original von Siggi3
wenn der Rand von U kompakt ist, ist er abgeschlossen und beschränkt. Das heißt es gibt eine offene Kugel, die U komplett enthält.

Diese Folgerung ist offensichtlich falsch. Betrachte z.B. , wobei die offene Einheitskugel im sei. Der Rand dieser Menge ist kompakt, aber du wirst keine Kugel finden, die die ganze Menge enthält.

\EDIT: @10001000Nick1: Sorry, dachte, du wärst offline (da du nicht mehr auf der Hauptseite als onlien angezeigt warst). Kannst natürlich gerne allein weitermachen.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr denn den Rand einer Menge definiert?

Edit: @magic_hero: Wenn du möchtest, kannst du hier weitermachen. Meine Internetverbindung scheint sowieso gerade ein bisschen rumzuspinnen. smile
Siggy3 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Wie habt ihr denn den Rand einer Menge definiert?


Sei X ein topologischer Raum, Y Teilmenge von X und x aus X. x heißt Randpunkt von Y, wenn in jeder Umgebung von x sowohl ein Punkt von Y, als auch ein Punkt von X\Y liegt. Die Menge aller Randpunkte heißt dann Rand von Y.
 
 
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon mal meinen Einwand oben gelesen? Setze da noch mal mit dem Gedanken an.
Siggi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe es gelesen. Ich verstehe das Gegenbeispiel auch.. ich weiß aber nicht, wie ich mit dem entweder oder arbeiten soll. Müsste ich einmal annehmen, der U ist nicht abgeschlossen das Komplement ist abgeschlossen und noch einmal das Komplement ist nicht abgeschlossen U ist abgeschlossen? verwirrt
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Siggi3
Ja, ich habe es gelesen. Ich verstehe das Gegenbeispiel auch.. ich weiß aber nicht, wie ich mit dem entweder oder arbeiten soll. Müsste ich einmal annehmen, der U ist nicht abgeschlossen das Komplement ist abgeschlossen und noch einmal das Komplement ist nicht abgeschlossen U ist abgeschlossen? verwirrt

Wieso denn jetzt auf einmal abgeschlossen?

Falls du beschränkt meinst: Sicherlich kannst du hier mit einer Fallunterscheidung arbeiten, zwingend notwendig ist es aber nicht. Es ist natürlich auch die Frage, welche Vorkenntnisse du benutzen kannst bzw. wie exakt du vorgehen musst. Das kann man aus der Ferne nur schwer beurteilen.
Siggi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, jetzt sitz ich einfach schon so lange an meinen Aufgaben, dass ich schon mit den Begriffen völlig durcheinander komme Finger1
ich meine natürlich beschränkt. Hmm... so viele Vorkenntnisse habe ich noch nicht. Bin noch relativ unbeholfen mit dem Thema Topologie. Hast du irgendeinen Tipp, der mir hierbei den Anfang vielleicht ein wenig einfacher machen könnte?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Bin jetzt nicht gerade der Topologieexperte, aber wir sind hier im , das dürfte machbar sein....

Das ist jetzt mit Sicherheit nicht der eleganteste Weg, aber du könntest dir ja mal den Abschluss von U und den Abschluss des Komplementes anschauen und versuchen, zu folgern, dass eine der beiden Mengen kompakt ist (dazu benutzen, dass der Rand kompakt ist). Danach wäre es eigentlich nicht mehr schwierig...

/EDIT: Wenn jemand eine schönere/elementarere Idee hat, gerne.
Siggi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ich glaub das wird heute nichts mehr bei mir Erstaunt2 Steh auf dem Schlauch. Danke aber für deine Tipps, vielleicht kommt ja noch was...
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rand liegt in einer offenen Kugel K. Angenommen es gibt außerhalb der Kugel ein Element von U und eines aus dem Komplement von U. Dann kann man beide über einen stetigen Weg, z.B. einen Polygonzug, verbinden, der außerhalb von K verläuft. Jetzt kann man sich überlegen, dass dieser Weg einen Randpunkt von U enthalten müsste, was aber nicht sein kann.
Edit: Das klappt natürlich nur für aber für findet man auch leicht ein Gegenbeispiel.
Siggi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo URL,

zwei Fragen zu deiner Lösung, da ich mich mit dem Thema noch nicht so gut auskenne:

1. Wenn der Rand von U in einer offenen Kugel liegt, muss dann nicht U selbst auch in dieser offenen Kugel liegen? Oder wird der Rand als "eigene Menge" betrachtet und kann dann auch beliebig weit von U entfernt liegen? Versuche mir das gerade im R^2 anhand eines Bildes anschaulich zu machen...

2. Wenn wir annehmen, dass es außerhalb der Kugel ein Element von U und eines aus dem Komplement von U gibt und das zum Widerspruch führen. Wie genau folgt daraus, dass entweder U oder das Komplement von U beschränkt ist?

Viele Grüße.
DrMath Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1: Betrachte in die Menge .

Zu 2: Wenn alle Elemente von U ODER alle Elemente des Komplements von U in deiner Kugel liegen, so folgt daraus, dass eine der beiden Mengen beschränkt sein muss (nämlich die, die ganz in der Kugel liegt).
Siggi3 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt Big Laugh

Vielen Dank euch allen!
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