Darstellende Matrix

08.01.2015, 19:42

Schokomuffin

Darstellende Matrix

Hallo Leute, ich bin immer etwas verwirrt wenn es um Darstellende Matrizen geht. Vorallem aber wenn es um die Koordinaten Abbildung geht.

Also schauen wir uns das ganze einmal an. Ich bekomme die j-te Spalte einer Darstelllenden Matrix wie folgt:

$\begin{eqnarray*} F: V\to W \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A:=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ Basis von V und $\begin{eqnarray*} B=(w_1,...,w_m) \end{eqnarray*}$ Basis von W

$\begin{eqnarray*} F\left(v_j\right)=\sum\limits_{i=1}^m a_{ij}w_i \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} j=1,...,n \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Die Definition macht auch Sinn. Allerdings betrachten wir die Koordinaten Abbildung:

$\begin{eqnarray*} K_B: K^n \to V \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} K_B(e_j)=v_j \end{eqnarray*}$

Warum ist dem so?

Ich habe doch nun:

$\begin{eqnarray*} K_B(e_1)= \sum\limits_{i=1}^n a_{ij}v_i \end{eqnarray*}$

Ich muss also $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ also Linearkombination aus den $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ schreiben.

ABer ich weiss doch ganrnicht wo $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ überhaupt landet.

Wieso kommt dann immer der entsprechende Basis vektor raus?

08.01.2015, 21:48

echnaton

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du einen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionalen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum und eine Basis $\begin{eqnarray*} B = (w_1, \dots, w_n) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ hast, dann existieren zu jedem $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ eindeutige Körperelemente $\begin{eqnarray*} k_1, \dots, k_n \in K \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} v = k_1w_1+\dots+k_nw_n \end{eqnarray*}$ . So weit sollte es verständlich sein.

Dann liegt es auf der Hand eine Abbildung $\begin{eqnarray*} K_B \end{eqnarray*}$ zu definieren, die jedem Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupel aus dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ zuordnet (oder umgekehrt, weil bijektiv).

Für den Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ gilt dann: $\begin{eqnarray*} K_B(e_1)=1\cdot w_1 + 0\cdot w_2 + \dots + 0 \cdot w_n = w_1 \end{eqnarray*}$

Die Argumente von $\begin{eqnarray*} K_B \end{eqnarray*}$ entsprechen also den Körperelementen $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ , die durch Linearkombination der Basiselemente $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ den Ergebnisvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ergeben.

09.01.2015, 21:34

Schokomuffin

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen dank, dass habe ich nun verstanden.

Eine Sache macht mich aber dennoch ein wenig stutzig, diesmal geht es aber um Eigenvektoren.
In meinem Buch steht folgendes:

Definition. Ein Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren gibt.

Dieser Name erklärt sich aus der Bemerkung:

Ist $\begin{eqnarray*} dim\,V=n<\infty \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} F\in End(V) \end{eqnarray*}$ genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis $\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} M_B(F) \end{eqnarray*}$ eine Diagnonalmatrix ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} M_{B}(F)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \, & 0 \\ \, & \ddots & \, \\ 0 & \, & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Das folgt unmittelbar aus der Definition der darstellenden Matrix $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

Wurde hier nun die Definition von oben verwendet? Dann würde das für mich sinn machen.

Gibt es eine Basis $\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ aus Eigenvektoren, so gilt

$\begin{eqnarray*} F(v_1)= \lambda\cdot v_1 = \lambda v_1 + 0 \cdot v_2+...+0 \cdot v_n \end{eqnarray*}$ , was nach Definition der Darstellenden Matrix die erste spalte wäre.

Durch widerholtes anwenden würde man dann die Matrix erhalten.
Wenn ich aber von irgendeiner Basis ohne die Eigenvektoreigenschaft ausgehe, macht es für mich keinen Sinn.

Stimmt das so?

11.01.2015, 12:15

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

du gehst von leicht verfälschten Tatsachen aus: in der einen Richtung der Äquivalenz hast du eine Basis aus Eigenvektoren, dann sollte die Diagonalität der Matrix klar sein.
In der anderen Richtung hast du eine Basis $\begin{eqnarray*} B=(v_1,\ldots,v_n) \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, dass die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} M_B(F) \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist. Damit hast du dann (nach der Eigenschaft der Abbildungsmatrix) $\begin{eqnarray*} F(v_1)=\lambda_1v_1+0v_2+\ldots+0v_n=\lambda_1v_1 \end{eqnarray*}$

Dass damit $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ (und analog alle anderen Basisvektoren) ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist, ergibt sich dann direkt

Lg
kgV
Wink

12.01.2015, 17:42

Schokomuffin

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen dank, dass habe ich in etwa verstanden. Dieser satz verunsichert mich aber noch sehr, was genau meinst du mit:

Zitat:

in der einen Richtung der Äquivalenz hast du eine Basis aus Eigenvektoren, dann sollte die Diagonalität der Matrix klar sein.

Wieso sollte die Klar sein?

Also wir haben da.

F diagonalisierbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es gibt eine Basis $\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ , sodass die Darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} M_B \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist.

Dass es eine solche Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus Eigenvektoren gibt ist klar, weil F diagonalisierbar ist. Das gilt nach definition.

Dann gilt also $\begin{eqnarray*} F(v_i) = \lambda v_i \end{eqnarray*}$ und das wäre nach Definition der Darstellenden Matrix ja die i-te Spalte mit dem eintrag $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ in i-ter Zeile.

"<=" Es gibt eine Basis aus $\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} M_B(F) \end{eqnarray*}$ eine Diagnonalmatrix ist.

Dann gilt wegen:

$\begin{eqnarray*} F(v_1)= \lambda\cdot v_1 = \lambda v_1 + 0 \cdot v_2+...+0 \cdot v_n \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ ein eigenvektor ist. Allgemeiner gilt das für alle $\begin{eqnarray*} v_i\,i\in\left\{ 1,...,n \right\} \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine Basis aus eigenvektoren und folglich F diagonalisierbar.

Also brauch ich nicht trdm beides?

Mfg Schokomuffin

Neue Frage »

Antworten »

Darstellende Matrix

Verwandte Themen