Rechenregeln in Ringen beweisen -> Welche Regeln benutzen?

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08.01.2015, 20:10	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregeln in Ringen beweisen -> Welche Regeln benutzen? Hey, ich muss in meiner aktuellen Vorlesung eine Flut von mathematischen Sachen verarbeiten, der ich einfach nicht gewachsen bin Jedenfalls hab ich mir heute eine Übungsaufgabe angeguckt in der es um Rechenregeln in Ringen geht: Es seien (R,+,) ein Ring und a,b,c € R. Zeigen Sie: a) a0 = 0a = 0 b) a(-b) = (-a)b =-(ab) c) (-a)(-b) = ab d) a(b-c) = ab-ac, (a-b)c = ac-bc Den ersten Beweis hab ich schonmal hier gefunden, den meine ich auch nachvollziehen zu können: a0 = a(0+0) //wegen neutralem Element(?), also einer "Monoidregel"? a0 = a0 + a0 \|+(-0a) //Distributivgestz (darf genutzt werden, weil Voraussetzung für einen Ring(?)) a0+(-a0)=a0+a0+(-a0) //inverses Element, also einer "Gruppenregel(?)" 0 = a0 Analog dazu dann das ganze für 0a=0. Die anderen Aufgaben kann ich noch nicht so wirklich lösen, weil sich mir die Frage stellt, welche Regeln ich alle benutzen darf um eine Rechenregel in einem Ring zu beweisen. (R, +) muss ja eine kommutative Gruppe sein, also darf ich bzgl. + folgende Regeln verwenden?: Assoziativgesetz: a+(b+c)=(a+b)+c Ex. d. neutrl. El: e+a = a+e = a (Bzgl der Addition also e=0). Ex. d. invers. El: a+b = e = b+a (Bzgl der Addition also b=(-a)). Kommutativgesetz: a+b = b+a Das sind ja die Eigenschaften die für eine abelsche Grp. erfüllt sein müssen. Dazu hab ich mir in meinem Skript noch einige andere Rechenregeln aufgeschrieben, die wohl aus den obigen Regeln resultieren?: Eindeutige Lösbarkeit linearer Gleichungen: a + x = b und y +a = b haben jeweils nur eine Lösung: x = a^-1 + b, y = b + a^-1. Bzgl der Addition ist a^-1 dementsprechend (-a). Kürzungsregel: a + b = a + c => b = c b + a = c + a => b = c Inversion von Produkten: (a+b)^-1 = b^-1 + a^-1 Doppelinversion: (a^-1)^-1 = a Darf ich zum Beweis der Rechenregeln in Ringen also bezüglich der ersten Verknüpfung all diese Regeln verwenden? Die zweite Verknüpfung, also das muss ja nur eine Halbgruppe sein, dh. bzgl des * darf ich nur das Assoziativgesetz verwenden? Oder gibt es andere Regeln die ich nutzen muss/darf. Hoffe meine Frage ist halbwegs verständlich. Grüße Lena
08.01.2015, 20:38	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo erstmal.... soweit ich weis ... ( und ich weis nicht alles ) kannst du die gruppeneigenschaften nutzen bzw musst sie ja nutzen um die Körper/Ring- eigenschaften zu zeigen. zum bsp. $\begin{eqnarray} \forall x,y \in K \ gilt \ (-x)y=-(xy) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-x)y &=&(-x)y+0 \\ &=& (-x)y+(xy+ \ -(xy)) \\ &=& ((-x)y +xy)+ \ -(xy) \\ &=& y (-x+x) + -(xy) \\ &=& y \cdot 0 + \ -(xy) \\ &=& -(xy) \end{eqnarray}$ so bei dem beweis benutzen wir auch das neutrale element, assoziativ und distributivgesetzt aus der gruppe. vll hilft dir das ja lg schachtelkopf
08.01.2015, 21:35	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für deine Antwort Du sagst ja: so bei dem beweis benutzen wir auch das neutrale element, assoziativ und distributivgesetzt aus der gruppe. Soweit ich weiß ist das Distributivgesetz keine Gruppeneigenschaft sondern eine Ringeigenschaft, oder liege ich da falsch? Würde ja theoretisch tdz nichts dran ändern, dass man es benutzen dürfte. Deinen Beweis finde ich total gut und nachvollziehbar. Das ist ja praktisch die halbe Lösung für: a(-b) = (-a)b =-(ab) Nur das x und y bzw a und b in diesem Fall vertauscht sind. Dann kürzt sich beim Distributivgesetz halt das a raus und man kommt auf das -(ab). Allerdings komme ich einfach nicht auf den mittleren Teil also: a(-b)=(-a)b. Ich hätte gedacht, das steckt vllt schon in dem anderen Beweis so halb drin bzw die Umformung ist ganz ähnlich, aber irgendwie stelle ich mich zu blöd an. Kannst du mir vllt einen kleinen Hinweis geben wie man vorgeht? Hatte es erst wieder mit a(-b)=a(-b)+0 versucht und dann die 0 wieder wie oben umgeformt. Leider komme ich einfach nicht auf das -a. Vllt hast du da einen Tipp Grüße und Danke nochmal
08.01.2015, 21:48	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt im grude nicht genau .. du addierst wieder 0 dazu und schreibst die null um ... dann bekommst du. $\begin{eqnarray} (-x) \cdot (-y)=(-x) \cdot (-y)+xy+ \ -(xy) \end{eqnarray}$ jetzt schau dir mal -(xy) an ... und schau dir den ersten beweis an den ich dir aufgeschrieben habe ... vll kommst du drauf
08.01.2015, 22:22	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal, ich werde das morgen versuchen, so spät habe ich leider keine Konzentration mehr: Vorab noch eine Frage. Woher kommt auf einmal das (-x)(-y) = ... Wenn ich zeigen muss: x(-y) = (-x)y =-(xy) Der letzte Teil ist ja schon gezeigt. Wenn ich dann den mittleren Teil zeigen muss, muss ich dann nicht ausgehen von: x(-y)= ... =(-x)y oder von -(xy)= ... (-x)y (da man ja vorher gezeigt hat, dass x(-y) = -(xy)) Mir ist grad nicht ganz klar, wie du auf (-x)*(-y) kommst. Oder es ist vllt schon zu spät für mich und ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht
08.01.2015, 22:55	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhh ok jetzt komm ich mit ... wir haben aneinander vorbei geredet ich war schon beim nächsten beweis.. also .. es ändert sich nichts... an dem beweisvorgang... ich habe ja schon gezeigt dass, $\begin{eqnarray} (-x)y = -(xy) \end{eqnarray}$ gilt, jetzt ist nur noch zu zeigen dass, $\begin{eqnarray} x(-y) = -(xy) \end{eqnarray}$ ist .... $\begin{eqnarray} \Rightarrow (-x)y = x(-y) = -(xy) \end{eqnarray}$ das geht genaus so .. nur das du hier wenn du die distributivität benutzt nicht y sondern x ausklammern musst... ich hoffe das du verstehst was ich jetzt meine .. ja dann bis morgen
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09.01.2015, 16:51	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
So da bin ich wieder, heute mit etwas klarerem Kopf. Im Nachhinein kann ich auch nur den Kopf schütteln, dass ich das nicht direkt gesehen habe. Wollte aus irgendeinem Grund "andersrum" beweisen und bei x(-y) bzw -(xy) anfangen und dann bei (-x)y rauskommen. Andersrum ist es natürlich fast genau der gleiche Weg wie beim ersten Teil Ich hab mich jetzt nochmal an die 3. Aufgabe gesetzt und die versucht: $\begin{eqnarray} (-a)(-b)=(-a)(-b)+0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-a)(-b)+(ab + -(ab)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-a)(-b)+(ab + (-a)b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-a)(-b)+((-a)b) + ab) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =((-a)(-b)+(-a)b)) + ab \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-a)((-b)+b)+ab \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(-a)(0)+ab \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =0+ab \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =ab \end{eqnarray}$ So ich bin mir selbst nicht 100% sicher, ob das richtig ist. Es sieht zmdst nicht ganz soo schlecht aus und erscheint mir persönlich auch recht schlüssig. Der 3. Schritt ist warsch nur möglich, wenn man vorher bewiesen hat, dass $\begin{eqnarray} -(ab)=(-a)b \end{eqnarray}$
09.01.2015, 17:05	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus und ist auch richtig was du da gemacht hast genau du darfst dass dann nutzen weil du es ja schon gezeigt hast. p.s ( wenn du ein $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ machen willst schreibst du \cdot, zeilenumbrüche mit \\ und wenn du alles schön unter einer reihe bei = haben möchtest dann &=& bei allen = ,normale leerzeile nur ein \) dann musst du nicht immer ein neues latex feld aufmachen
09.01.2015, 17:33	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich hoffe ich krieg es beim nächsten Mal hin Kannst du mir vllt. noch einen Tipp für die 4. Aufgabe geben? Ich krieg den Sprung auf - nicht wirklich hin. Vllt bin ich auch zu festgefahren auf das +0 addieren und das dann umformen. Vllt muss man da jetzt anders vorgehen. Wenn ich +0 addiere und dann das 0 umforme in a(b-c)+ -(a(b-c)) oÄ dann hab ich am Ende nichts gewonnen, weil ich ja immer noch nicht ausklammern darf.
09.01.2015, 17:41	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
die 4 würde ich mit Induktion machen ... und dann dabei die definition der multiplikation nutzen ...
09.01.2015, 18:06	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre das so auch richtig? Mit Induktion tuhe ich mich immer sehr schwer $\begin{eqnarray} a\cdot(b-c)&=&a\cdot(b+(-c)) \\ &=&a \cdot b+a \cdot (-c) \\ &=& a \cdot b + -(a \cdot c) \\ &=& a \cdot b - a \cdot c \end{eqnarray}$ Danke für die Latex-Tipps nochmal. Sieht schon besser aus
09.01.2015, 18:18	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, ja so sieht das recht schlüssig aus ... wenn ihr schon geizeigt habt dass $\begin{eqnarray} a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c \end{eqnarray}$ gilt bzw ihr das verwenden dürft. wenn nicht dann müsstest du es für $\begin{eqnarray} a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c \end{eqnarray}$ zeigen und dann kannst du es in deinem beweis benutzen.
09.01.2015, 18:25	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Distributivgesetz wurde ja in den anderen Beweisen schon "in die andere Richtung" genutzt. Theoretisch sollte die Gegenrichtung ja auch kein Problem sein, wenn = ein Äquivalenzoperator ist. Zmdst habe ich mir notiert: Ein Tripel(R, +, ) .... heißt Ring, wenn gilt: 1)... 2)... 3) (a+b)c = (ac)+(bc) a(b+c) =(ab)+(a*c) In welche Richtung man das Distributivgesetz einsetzt sollte doch eig. keine Rolle spielen oder doch?
09.01.2015, 18:31	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
ne das spielt keine rolle... dann passt des ich hab nur gedacht das ihr vll das distributivgesetzt allgemein noch zeigen müsst bevor ihr es verwendet ... natürlich hätten wir es dann als erstes machen sollen bevor wir es bei den anderen beweisen nutzen...
09.01.2015, 18:37	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, dann vielen Dank für deine Hilfe, hat mir sehr geholfen Die nächste Frage kommt bestimmt in den nächsten Tagen
09.01.2015, 18:41	schachtelkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
kein problem .. p.s wenn du dich mit linearer hülle ect. auskennst kannst du mir ja vll helfen bb
11.01.2015, 21:05	Lena95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss mich doch nochmal melden. Habe hier 2 Aufgaben zu Körpern: a) Aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0. b) ab + cd = (ad + bc)/ bd (b,d != 0). Darf man da nur die Regeln verwenden, die auch bei Ringen verwendet wurden? Das führt mich irgendwie zu keinem Ergebnis. Vllt kennste dich mit Körpern ja auch aus

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