Vektorraum von kartesisch nach polar umrechnen

08.01.2015, 20:18	B_S	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum von kartesisch nach polar umrechnen Hey Leute. Ich steh grad bei ner Aufgabe total aufm Schlauch. Ich will ein Vektorfeld aus dem kartesischen in das polare Koordinatensystem umrechnen. Das Vektorfeld wird beschrieben durch: $\begin{eqnarray} \vec{F} = \frac{1}{x^{2} +y^{2}}(y\vec{e_{x}} - x\vec{e_{y}}) \end{eqnarray}$ Mit der Herangehensweise, dass $\begin{eqnarray} \vec{r} = \begin{pmatrix} \vec{e_x} \\ \vec{e_y} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{e_x} = \frac{y}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{e_y} = - \frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \vec{r} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \frac{1}{x^2 + y^2} \end{eqnarray}$ . Daraus eribt nach Pythagoras für $\begin{eqnarray} \|r\|= \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi = artan(- \frac{x}{y}) \end{eqnarray}$ . Ab hier weiss ich nicht, wie ich $\begin{eqnarray} \vec{F} \end{eqnarray}$ in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ausdrücke bzw. wie der Prof auf die Musterlösung: $\begin{eqnarray} \vec{F}=-\frac{1}{r}\vec{e_{\phi}} \end{eqnarray}$ kommt. Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar. MfG, B_S
08.01.2015, 22:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum von kartesisch nach polar umrechnen Im Punkt mit den kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \vec{e_r}=\frac 1 r \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{e_\phi}=\frac 1 r \begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{e_r}, \vec{e_\phi} \end{eqnarray}$ bilden eine Orhonormalbasis und Du willst das Vektorfeld bgzl. dieser Basis darstellen. Das geht dann wie üblich $\begin{eqnarray} \vec{F}=\vec{F}\cdot \vec{e_r}\; \vec{e_r}+ \vec{F}\cdot\vec{e_\phi}\; \vec{e_\phi} \end{eqnarray}$ wobei der Punkt das gewöhnliche Skalarprodukt bezeichnet.
12.01.2015, 13:52	B_S	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön für die Antwort. Hat mir geholfen. Gruß, B_S

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