Gaussverfahren in Matrix

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Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »
Gaussverfahren in Matrix
Meine Frage:
Hallo!

Ich bin komplett neu auf den Forum und habe eine Frage zu folgender Matrix.
Hintergrund: Es geht darum, die Gewichte in einem Minimum-Varianz-Portfolio zu rechnen, so wie man das für Portfolio in der Finanztheorie nach Markowitz macht. . Allerdings wurde nie wirklich erklärt, wie ich zur Lösung am Schluss komme. Ich verstehe wie der Gauss-Algorithmus funktioniert, allerdings ist mir hier die Herleitung schleierhaft.

Das ist die Ausgangsmatrix. Horizontal drüber stehen die Gewichte Lambda 1 bis 3. Rechts Vertikal einfach drei Mal mü.
Die finale Matrix sieht wie folgt aus:
Jedoch steht nun hier noch eine vierte Spalte welche sich wahrscheinlich auf mü bezieht: 0; 1/2 mü und 3/2.

Nun wissen wir das 1 = 0. 2 = 1/2 mü und 3 gleich 3/2.
Unter der zusätzlichen Vorrausetzung dass alle =1 sind (da es sich um gewichte handelt), können wir mü finden und mü nun oben einsetzen.

Das ist alles schön und gut. Jedoch verstehe ich nicht, wie wir zur zweiten Matrix gelangen. In meinen Rechnungen komme ich auf bspw. 1 = mü minus 2/3 3. So habe ich jedoch das Problem, dass ich nicht nach mü auflösen kann.
Somit habe ich zwei Fragen:
1. Wie komme ich zu der zweiten Matrix? Btw. wie löse ich nach dem Gauss-Verfahren auf?
2. Wie gehe ich für dieses mü vor? Warum treffen wir es hier an?

Es ist Jahre her, dass ich das in der Schule gemacht habe und ich habe ehrlich gesagt keinen Plan.

Vielen Dank für die Hilfe.


PS: Sry für die Matrix. Komme damit noch nicht ganz draus.

Meine Ideen:
Ich denke es gibt hier verschiedenen Lösungsansätze, die Matrix zu lösen.
Das Problem für mich ist hier klar mü.

-----------------------------------------------------------------------------
Es hat zwei Fehler.
Natürlich heisst es bei der vertikalen Reihe: 0; 1/2 mü und 3/2 MÜ.
Dementsprechend Lambda 3 gleiich 3/2 MÜ.



LaTeX-Tags korrigiert. Steffen
Edit Equester: Folgebeitrag eingefügt, damits hier jungfräulich aussieht.
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaussverfahren in Matrix
Die , die in der vierten Spalte stehen, gehören noch zum linearen Gleichungssystem (LGS). Es sollte also so aussehen:


Das Ergebnis ist dann entsprechend:



Was bedeutet das jetzt? Die Matrix beschreibt ein LGS, das heißt mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten, in deinem Beispiel oben wäre das:








Die erste Spalte sind also die Koeffizienten für , die zweite Spalte für , die dritte für und die vierte Spalte für die "rechte Seite", also das Ergebnis. Da steht in diesem Fall jetzt überall , da könnten aber auch andere beliebige verschiedene Zahlen stehen.
Damit sind die Unbekannten und eine Konstante.
Dieses LGS ist jetzt eindeutig lösbar, d.h. die Unbekannten haben genau eine Lösung, sodass die Gleichungen stimmen. Das wurde wie du bereits erwähntest mit dem Gauss-Verfahren gelöst. Du sagst auch, dass du weißt wie er funktioniert, dann sollte doch jetzt klar sein, wie von der ersten Matrix zur zweiten umgeformt wurde, oder?

Die zweite Matrix ist dann die "Ergebnismatrix" wenn man so will... daran kannst du dann direkt die Werte für die ablesen:








Zu deiner zweiten Frage ("Was soll das ?") ... es handelt sich wie gesagt um eine Konstante und wird bei euch irgendeine Bedeutung haben. Mathematisch gesehen ist einfach irgendeine Zahl wie 1000, 0.4 oder Pi. Je nach dem was für eine Zahl ist, ändert sich auch der Wert für die (zumindest für und , denn bleibt natürlich 0 Augenzwinkern ).
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Paranoide!

Besten Dank für die rasche Antwort. Ich weiss es sehr zu schätzen!

Zu deinen Ausführungen:

Ich verstehe den Gauss-Algorithmus, ja. Jedoch komme ich nie auf das richtige Ergebnis? Wie würdest du hier vorgehen?

Mü ist eine Konstante. Ich weiss jedoch beim besten Willen nicht, wofür wie sie abgesehen vom Lösen der Gleichung brauchen. Sie wird im Rahmen der Rechnung ermittelt, hat aber keinen höheren Sinn.

Beste Grüsse

PS: Bin ein kleiner Trottel, weiss leider noch nicht wie ich die Mü-Formel eingeben muss hier im Forum. smile
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaussverfahren in Matrix
OK, fangen wir mal mit der Ausgangsmatrix an:




Um es etwas übersichtlicher zu machen, multipliziere doch erstmal jede Zeile mit einer Zahl um die Brüche weg zu kriegen, sodass überall nur noch ganze Zahlen stehen.

EDIT: Oder fang doch lieber erstmal an, von der DRITTEN Zeile die ZWEITE Zeile abzuziehen (ist wohl einfacher).


Wenn du nicht weißt, wie du das -Zeichen setzt: Einfach \mu als LaTeX Code eingeben!
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaussverfahren in Matrix
Hallo,
Der nächste Schritt wäre entsprechend:



Wie stelle ich den zusätzlichen Vektor ein? Ich habe ja nur die Matrix-Vorlage mit 3 mal 3.
Gemäss Einführung in Latex muss ich meine Formel zwischen die zwei Latex Termini schreiben. Ist das nun so richtig?
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Um den LaTeX Code richtig zu schreiben, kannst du entweder mit der Maus über die Formeln in meinen Posts gehen (dann kommt so ein Tooltip mit dem Code) oder du klickst einmal auf "Zitieren" des Posts, dann kannst du dir das auch anschauen!

Also in der vierten Spalte fehlen noch die , schließlich ist auch und nicht einfach nur 6! Augenzwinkern
 
 
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Paranoide,

Du bist ganz schön schnell bei der Sache. smile
Mit den hast du Recht. Kann ich das direkt im Matrix-Code einsetzen?
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, einfach machen... gibt ja sonst auch noch den Vorschau-Button, dann kannst du einfach ein wenig rumprobieren bis es so aussieht wie du es haben willst!
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, weiter habe ich dann so gerechnet:



Dies aus Gründen der Vereinfachung.

Dann:



Hier habe ich zuerst Zeile II mal 9 gerechnet. Dann Zeile III minus Zeile II.

Hier habe ich nun ein Problem. Anders als in der Musterlösung kann ich nun nicht nach auflösen. Ich denke dies ist der Fall wegen dem 0 Lambda 2 in der ersten Zeile.

Was mache ich hier falsch?
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Also Zeile II mal 9 (und Zeile III mal 3 wie du es auch gerechnet hast) ergibt zunächst:



Was steht jetzt in Zeile III, wenn du von ihr Zeile II abziehst? (also Zeile III wird zu "Zeile III - Zeile II")
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Der nächste Schritt ist zuerst:
Zeile III minus I zu rechnen.
Dann kommt man auf das:
Nächster Schritt ist dann, III minus II zu rechnen.
So kommt man dann zu der letzten Matrix von vorhin. Das war kein gutes Vorrechnen von mir.

Hier brauche ich wie gesagt Hilfe, da ich nicht nach mü auflösen kann wie in meinem Beispiel.

Merke: Dies ist mein eigener Rechenweg.

Danke für die Hilfe!!
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du solltest in meiner Matrix von der dritten Zeile die zweite abziehen!
Also nochmal:
Wir haben diese Matrix:



Der Witz ist doch jetzt, dass in der ZWEITEN und DRITTEN Zeile fast genau die gleichen Zahlen stehen außer in der ersten Spalte (die 0 bzw. die 12). Das schreit doch förmlich danach diese beiden Zeilen voneinander abzuziehen, also so:




Was erhalten wir somit?
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalten wir:



Was wäre als nächstes dran? Könnten wir Zeile 1 mit Zeile 3 drehen?
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, können wir, die Reihenfolge der Zeilen ist für die Lösung allerdings unerheblich. Wenn du es aber genau so wie oben schön in diese Diagonalform bringen willst, kannst du sie tauschen.
Und dann solltest du die Zeile noch durch 12 teilen... und was sagt uns dann diese Zeile? smile
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaussverfahren in Matrix
Gut,dementsprechend drehe ich erst I und III. Kurze Frage am Rande: Ist das immer erlaubt?



Bevor ich durch 12 teile, rechne ich jedoch noch wie folgt: in II teile ich durch 9. Ausserdem rechne ich III-I. (Um das Nullen-Dreieck in der Matrix zu bekommen).

Daraus folgt:



Nun rechne ich noch die erste und letzte Zeile durch jeweils 12 und komme auf diese Matrix:



Jetzt habe ich eig. die Matrix in die Form gebracht, die ich brauche. Allerdings sieht das Gleichungssystem anders aus, als in der Musterlösung. Ich nehme jedoch an, dass das keine Rolle spielt und ich jetzt trotzdem beim Auflösen auf das gleiche und die gleichen Gewichte komme. Sehe ich das richtig?
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich habe jetzt noch /mu unter der Voraussetzung, dass , und gleich 1 sind. Dies, da wir ein optimales Portfolio berechnen wollen und die Summe der Gewichte natürlich 1 betragen muss.
Nun komme ich auf das gleiche aus der Musterlösung. Jedoch weichen meine Gewichte davon ab.

In der Musterlösung, basierend auf der Lösungsmatrix aus meinem ersten Post, kommen wir auf folgendes Ergebnis: (0; 0.25; 0.75). Ich komme jedoch auf (0; 1/3; 2/3).

Wie kann das sein? Hat es mehrere Lösungen für dieses Gleichungssystem?
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern

Diesen Fehler hast du in deiner letzten Umformung gemacht!

Und ja, natürlich darfst du die Zeilen immer vertauschen... Schließlich stehen die Zeilen ja im Prinzip nur für eine Reihe von Gleichungen bzw eine Sammlung von Gleichungen und da ist die Reihenfolge ja egal!


EDIT: Ich sehe gerade, dass trotz deines Rechenfehlers die Matrix am Ende richtig ist... Dazu musst du aber erst von der dritten Zeile die erste abziehen, wodurch du dann wieder in der ersten Spalte stehen hast. Die letzte Zeile sieht dann so aus:



Und diese Zeile solltest du dann durch 8 teilen und nicht durch 12! smile


EDIT2: Na gut, die Matrix ist nicht ganz richtig... Wenn du durch 12 teilst, dann steht da 8/12 und das ist nicht 0.75 sondern 2/3 bzw etwa 0.666
Aber du sollst ja jetzt eh durch 8 teilen Augenzwinkern ich hoffe du kannst mir noch folgen!
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen!

Danke für die Hinweise. Ich habe III minus I gerechnet, aber natürlich sollte es 2/3 heissen. smile
Aber warum sollten wir durch 8 teilen? Aus Gründen der Kosmetik? Grundsätzlich sollte es doch keine Rolle spielen?

Edit:
Beim Auflösen komme ich nun auch auf die richtigen Gewichte!
Somit gibt es verschiedenen Wege um nach Rom zu kommen. smile
Paranoide Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Reihenfolge der Umformungen ist ja egal, daher gibt es natürlich viele Wege. Durch 8 musstest du teilen, weil da ja im Prinzip stand und du nach auflösen willst.

Hast du dann jetzt alles verstanden oder fehlt noch was? :-)
Proshimim Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen!

Meine Fragen sind beantwortet. Ich muss jetzt nur noch schauen, dass ich andere Übungsaufgaben dazu finde. Denn der Prof hat nur dieses ein Beispiel aufgezeigt und ich gehe davon aus, dass das drankommt. smile Aber vielen Dank für die tolle Hilfe!
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