Monotonie der Lp-Normen

09.01.2015, 16:59

daLoisl

Monotonie der Lp-Normen

Guten Tag,

ich möchte zeigen dass für $\begin{eqnarray*} q \ge p \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ||x||_p \le ||x||_q \end{eqnarray*}$ . Der Einfachheit halber sei $\begin{eqnarray*} x: \Omega \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine messabre Treppenfunktion ( $\begin{eqnarray*} x = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \chi_{A_i} \end{eqnarray*}$ ).
$\begin{eqnarray*} ||x||_p := (\int \! |x|^p \, d \mu)^\frac{1}{p} \end{eqnarray*}$

Ich habe bereits gezeigt, dass für eine konvexe Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(\int \! |x| \, d\mu) \le \int \! f(|x|) \, d\mu \end{eqnarray*}$
wobei ich schon gemerkt habe, dass ich vermutlich die umgekehrte Ungleichung für konkave Funktionen benötigen werde.

Ich habe dann die Lp-Norm von x als Funktion von p aufgefasst und wollte zeigen, dass die Ableitung positiv ist.
Für die Ableitung erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dp}(||x||_p) = ||x||_p (-\frac{ln(||x||_p^p}{p^2} + \frac{1}{p} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mu(A_i) |\lambda_i|^p ln(|\lambda_i|) }{||x||_p^p}) \end{eqnarray*}$
Das ist genau dann positiv wenn:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mu(A_i) |\lambda_i|^p ln(|\lambda_i|) }{||x||_p^p}) \ge \frac{ln(||x||_p^p)}{p}<br /> \Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^n \mu(A_i) |\lambda_i|^p ln(|\lambda_i|^p) \ge (\sum\limits_{i=1}^n |\lambda_i|^p \mu(A_i))*ln(\sum\limits_{i=1}^n |\lambda_i|^p \mu(A_i))<br /> \Leftrightarrow \int \! |x|^p ln(|x|^p) \, d\mu \ge \int \! |x|^p \, d\mu*ln( \int \! |x|^p \, d\mu)<br /> \end{eqnarray*}$

Dann stehe ich allerdings an. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Freundliche Grüße
daLoisl

09.01.2015, 18:24

IfindU

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RE: Monotonie der Lp-Normen
Falls $\begin{eqnarray*} \mu(\Omega) = 1 \end{eqnarray*}$ ist das eine leichte Konsequenz von Hölders Ungleichung. Falls nicht ist die Aussage einfach falsch.

Alternativ mit Jensen wählt man $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{q/p} \end{eqnarray*}$ und schon steht es da. [Da hast du übrigens auch schon Normiertheit des Maßes benutzt].

09.01.2015, 19:24

daLoisl

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RE: Monotonie der Lp-Normen
Danke für die Antwort.
Es gilt natürlich $\begin{eqnarray*} \mu(\Omega) = 1 \end{eqnarray*}$ als Generalvoraussetzung.

Zitat:

Alternativ mit Jensen wählt man $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{q/p} \end{eqnarray*}$ und schon steht es da.

Also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist natürlich konvex ( $\begin{eqnarray*} q \ge p \end{eqnarray*}$ ). Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} ||x||_p = ( \int \! |x|^p \, d\mu)^\frac{1}{p} = (( \int \! |x|^p \, d\mu)^\frac{q}{p})^\frac{1}{q} \le ( \int \! |x|^q \, d\mu)^\frac{1}{q} = ||x||_q \end{eqnarray*}$

So einfach wäre es also gewesen Hammer

Nochmals herzlichen Dank.

09.01.2015, 19:49

IfindU

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RE: Monotonie der Lp-Normen
Genau Freude

14.01.2019, 03:26

flodo

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Uralter Beitrag, aber wie kommt der OP denn darauf dass f(x) konvex wäre? Das hängt doch total von q und p ab...

14.01.2019, 05:34

Guppi12

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Ja und für $\begin{eqnarray*} q\geq p \end{eqnarray*}$ , wie vorausgesetzt, ist sie konvex.

14.01.2019, 13:41

flodo

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Für $\begin{eqnarray*} q = 9, p = 6 \end{eqnarray*}$ , was augenscheinlich $\begin{eqnarray*} q \ge p \end{eqnarray*}$ erfüllt, ist $\begin{eqnarray*} x^{9/3} = x^3 \end{eqnarray*}$ aber nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ konvex. Wo wird das vorausgesetzt?

14.01.2019, 13:57

Guppi12

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Die Betragsfunktion hat positiven Wertebereich, daher werden nur diese tatsächlich in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingesetzt und es ist egal, wie diese Funktion für negative Werte aussieht.

14.01.2019, 14:06

flodo

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Perfekt, Danke - das habe ich übersehen!

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