Integral

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09.01.2015, 17:27

max002

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Integral

HI Leute,
ich verstehe nicht ganz ist das Integral von 2*cos(x/2) gleich 2*sin(x/2) ?
Oder irre ich mich da?

lg

09.01.2015, 17:36

Mathema

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Meinst du also:

$\begin{eqnarray*} \int 2\cos(\frac{x}{2}) \dx \end{eqnarray*}$ ?

Das ist nicht $\begin{eqnarray*} 2\sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ . Wie auch eine Ableitung zeigen dürfte.

09.01.2015, 17:42

max002

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Ich verstehe nicht ganz wie ich das ableite.
Beim Integrieren ist es doch so, dass z.B. cosx integriert sinx ergibt nicht?
:/

09.01.2015, 17:47

Mathema

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Ja, du kannst doch ganz normal ableiten:

$\begin{eqnarray*} F(x) = 2\sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'(x) = 2 \cdot \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \cos(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

So viel brauchst du also nicht ändern. Augenzwinkern

09.01.2015, 17:58

max002

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Hmm ok.. aber wie gehe ich beim Integrieren vor ? Ich weiß, dass das eine Grundlage ist, aber ich durchschaue es wirklich nicht unglücklich

09.01.2015, 18:03

max002

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Oder ist es von 2*cos(x/2)-->2*sin (x^2)/4 ??weil wenn ich das ableite kommt mir wieder 2 mal cos x durch 2 raus.. also eigentlich sollte es doch stimmen oder ?

09.01.2015, 18:05

Mathema

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Du hast doch schon das Wesentliche festgestellt. verwirrt

Zitat:

Beim Integrieren ist es doch so, dass z.B. cosx integriert sinx ergibt nicht

Die 2 ist ein konstanter Faktor, die belassen wir also.

Also haben wir $\begin{eqnarray*} 2\sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ und da wir noch in die innerere Ableitung berücksichtigen müssen, sollten wir gerne noch einmal mit 2 multiplizieren.
Also erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \int 2\cos(\frac{x}{2}) \dx = 4\sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

09.01.2015, 18:14

max002

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Hm ok.. und wieso ist die innere Ableitung 2 :/ bzw. wieso muss man noch einmal ableiten und nicht integrieren?

09.01.2015, 18:21

Mathema

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Zitat:

und wieso ist die innere Ableitung 2

Das ist sie bestimmt nicht unglücklich

Die innere Ableitung ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

wieso muss man noch einmal ableiten und nicht integrieren

Wir integrieren doch. Nur wenn du deine Stammfunktion bildest, muss die Ableitung der Stammfunktion eben deine Funktion ergeben, die du integrieren möchtest. Und da bilden wir eben im Kopf die innere Ableitung und gleichen diese durch eine entsprechende Multiplikation aus.

09.01.2015, 18:37

max002

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Hmm ok.. wäre es dann bei z.B. 3*sin(x/2) --> 6*(-cos(x/2)) ?

09.01.2015, 18:39

Mathema

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So ist es

09.01.2015, 18:46

max002

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Hmm ok.. nur wenn ich mit 6(-cos(x/2) den Flächeninhalt von 0 bis 3pi berechne kommt mir nicht 18 heraus.. verwirrt

(Ergebnis im Lösungsbuch)

09.01.2015, 18:49

Mathema

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Dann rechne mal vor. Bei mir kommt nämlich 18 raus.

09.01.2015, 18:59

max002

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Ok habe nocheinmal gerechnet stimmt das?
Also wenn ich einsetze: -6cos (pi) =6 und das mal 3 ergibt 18

09.01.2015, 19:01

Mathema

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Wie kommst du darauf?

09.01.2015, 19:29

max002

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Naja: -6cos(2pi/2)=6 und eigentlich fehlt mir dann noch ein pi: also -6cos(pi/2) aber da kommt null heraus..
und wenn ich pi einsetze und dann mal drei rechne, dann ergibt das zwar mit der Skizze keinen Sinn aber es kommt das richtige raus.. unglücklich

09.01.2015, 22:39

Mathema

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Oje - das hatte ich befürchtet, dass du überhaupt nicht weißt, was du hier eigentlich berechnest, sondern nur dein Ergebnis vor Augen hattest.

Du berechnest das Integral von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Das ist aber bestimmt nicht das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , welches dir zu $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ fehlt. unglücklich

Guck dir das mal auf dem Bild an und versuch die Fläche zu finden, welche du überhaupt berechnest.

Der übliche Weg ist wohl bis zur Nullstelle zu integrieren, und dann brauchst du noch einmal die halbe Fläche dazu. Also

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \cdot (-6\cos (\frac{2\pi}{2})-(-6)\cos(0))=18 \end{eqnarray*}$

10.01.2015, 14:56

max002

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DANKE!! Jetzt versteh ichs endlich Gott