Ganzrationale Funktion dritten Grades
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11.01.2015, 13:55 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzrationale Funktion dritten Grades
Meine Frage:
Hallo zusammen.
Es geht um den Verlauf einer Epidemie.Vorerst soll man anhand der grafischen Darstellung den Verlauf der Epidemie beschreiben.
b) Die Anzahl der erkrankten Personen kann näherungsweise durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben werden. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion fE. Hinweis: Im Koordinatenursprung beträgt die Änderungsrate 30 Neuerkrankungen.
c) Skizzierung des Graphen der Abl. Funktion von fE und Interpretation
d)Rechnerisch zeigen, an welchem Tag die meisten Personen erkrankt sind

Meine Ideen:
Die Aufgabe a habe ich bereits gemacht.
Nun komme ich ab b nicht weiter. Da es unser neues Mathethema ist, bin ich damit noch nicht ganz so vertraut und freue mich wirklich riesig über jede Hilfe.

Danke im Voraus!
11.01.2015, 13:57 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn eine ganzrationale Funktion 3. Grades allgemein aus ?
11.01.2015, 14:02 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Wie sieht denn eine ganzrationale Funktion 3. Grades allgemein aus ?


Soweit ich weiß: f(x)= ax^3 + bx² + cx + d
mehr weiß ich leider auch nicht darüber.. :/
11.01.2015, 14:10 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das reicht ja auch erstmal soweit. smile
Nun haben wir auch einen Wendepunkt im Spiel.
Was braucht man immer, um Wendestellen zu berechnen ?
11.01.2015, 14:31 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte Ableitung oder?
11.01.2015, 14:35 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch, aber wenn dann nur um das Vorzeichen zu betrachten.
Die notwendige Bedingung für Wendepunkte lautet ?
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11.01.2015, 14:42 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

f"= 0?
11.01.2015, 14:43 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es, wir brauchen also auch die 2. Ableitung von f(x)=ax³+bx²+cx+d
Kannst du diese bilden ?
11.01.2015, 14:48 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

f"(x) = 6ax + 2b

Also 6ax + 2b = 0
11.01.2015, 14:54 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den "gleich null" setzen kommt gleich erst. Augenzwinkern

Wir haben also mit a,b,c und d insgesamt 4 Unbekannte, die wir bestimmen müssen.
Dafür benötigen wir ebenso 4 Gleichungen.

Orientieren wir uns an den beiden Punkten (0|0) und (2|92).

Wir wissen, dass der Graph durch (0|0) verläuft und dort, also in x=0, die Änderungsrate (Steigung) 30 hat.
Kannst du das nun mit der gesuchten Funktion f(x) verknüpfen ?
11.01.2015, 14:58 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Also bis zur Steigung versteh ich das noch, aber was meinst du denn mit verknüpfen?
11.01.2015, 15:05 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss jetzt ja 4 Gleichungen aufstellen.
Wenn z.B. der Punkt (4|10) auf dem Graphen einer Funktion liegt, dann bedeutet das mit anderen Worten, dass wenn man x=4 in den Funktionsterm einsetzt, dann kommt der y-Wert 10 raus.

Dasselbe müssen wir hier jetzt zunächst mal für den Punkt (0|0) tun und dazu den allgemeinen Funktionsterm zu f(x)=ax³+bx²+cx+d benutzen.
Welche Gleichung könnte damit dann entstehen ?
11.01.2015, 15:09 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Wären das dann f(0) = 0 und f(2)=92?
11.01.2015, 15:12 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig,
Bleiben wir zunächst aber noch bei f(0)=0.
Wie kann man das denn jetzt als Gleichung ausdrücken, wo a,b,c oder d vorkommen ?

Dazu brauchst du dann eben das hier:

Zitat:
dass wenn man x=4 in den Funktionsterm einsetzt, dann kommt der y-Wert 10 raus.
11.01.2015, 15:17 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

f(0) = 0
a*0³+b*0²+c*0+d= 0
also wäre d= 0 ?
11.01.2015, 15:19 kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@dieShali: Bitte verwende den "Antworten"-Button anstatt des Zitat-Buttons, um dich auf die Beiträge von Bjoern zu beziehen. Die vielen Vollzitate machen den Thread nur unübersichtlich. Danke

PS. Ich werde gleich ein paar davon entfernen
11.01.2015, 15:19 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Super. Freude

Mach bitte danach erst mal den Teil mit der Steigung 30 in x=0.
Welche Ableitung brauchst wenn Steigungen im Spiel sind und zu welcher Gleichung führt das dann hier ?
11.01.2015, 15:42 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

f'(0) = 30
3a*0²+ 2b*0+ c = 30
also wäre c= 30
11.01.2015, 15:46 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön.
Damit siehst du, dass Punkte mit x=0 immer ganz praktisch sind, denn damit bekommt man schon mal direkt gewisse Variablen direkt raus.
Wir haben also jetzt d=0 und c=30.

Jetzt widmen wir uns also noch dem Wendepunkt (2|92)
Eine Bedingung hast du mit f(2)=92 schon genannt, daraus kann man dann wiederum eine Gleichung machen.
Mittels der notwendigen Bedingung für Wendepunkte kommst du dann auch noch an eine zweite Gleichung.
Wie lauten die beiden Gleichungen ?
11.01.2015, 15:57 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

f(2) = 92
a*2³ + b*2² + c * 2 + d = 92
also 8a + 4b + 2c + 0 = 92
11.01.2015, 16:00 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 2. Gleichung bin ich mir nicht sicher, da ich denke dass der Ansatz für die Gleichung f(7,8) = 0 wäre. Oder nimmt man statt 0 die Steigung 30? (also f(7,8) = 30?)
11.01.2015, 16:04 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also 8a + 4b + 2c + 0 = 92


Das ist richtig, du kannst aber auch noch c=30 einsetzen, so dass nur noch eine Gleichung mit 2 Unbekannten übrig bleibt.

Zitat:
f"(x) = 6ax + 2b

Also 6ax + 2b = 0


Hier hattest du ja schon die notwendige Bedingung für Wendepunkte genannt.
Da in x=2 also ein Wendepunkt liegt, muss demnach f ''(2)=0 gelten.
11.01.2015, 16:19 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe jetzt folgendes:

f"(2) =0
II. 12a + 2b = 0

I. 8a + 4b + 60 = 92 / :2, diesen Schritt habe ich wegen des Additionsverfahrens gemacht

also: 4a + 2b + 30 = 46 / - 30
4a + 2b = 16

Jetzt wird die zweite von der ersten Funktion abgezogen, also:
I. - II.

-8a = 16 / unglücklich -8)
a = -2
11.01.2015, 16:26 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, und wie kommst du jetzt noch an den Wert für b ?
11.01.2015, 16:33 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

a wird in I. eingesetzt
also: 4 * (-2) + 2b =16 / + 8
2b = 24 / :2
b= 12

wenn ich alles einsetze, komme ich auf die Gleichung f(x) = -2x³ + 12x² + 30x und d fällt weg, da d ja Null ist. Big Laugh

Vielen vielen Dank für die Hilfe!
11.01.2015, 16:36 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, hast du gut hinbekommen und sehr schön mitgearbeitet Freude

Ist der Rest der Aufgabe klar oder gibt es noch Fragen ?
11.01.2015, 16:38 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke c bekomme ich noch hin, bei d könnte ich vielleicht noch etwas Hilfe gebrauchen. Hammer
11.01.2015, 16:40 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir mal den Graphen anschaust, kannst du da erkennen/ablesen, wann die meisten Menschen erkrankt sind und wie man den entsprechenden Punkt nennt ?
11.01.2015, 16:53 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Am 5. Tag sind 200 Leute erkrankt und das ist dann auch der höchste Punkt. Aber wie man das genau nennt weiß ich nicht.. Und ich muss das ja rechnerisch zeigen
11.01.2015, 16:59 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau, es geht darum den so genannten Hochpunkt rechnerisch nachzuweisen (merkwürdig, dass auf dem Blatt das Wort "zeigen" fett gedruckt ist anstatt das Wort "rechnerisch", denn das man etwas zeigen muss, ist ja eh klar. verwirrt )

Kennst du denn ein Kriterium, wie man Hochpunkte rechnerisch bestimmt ?
11.01.2015, 17:06 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm gerade irgendwie gar nicht mehr weiter. Hilfe
11.01.2015, 17:11 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Komisch, dass du mir die notwendige Bedingung für Wendepunkte wie aus der Pistole geschossen nennen konntest, die notwendige Bedingung für Extrempunkte jedoch offenbar nicht kennst. verwirrt

In einem Hoch- oder Tiefpunkt ist die Steigung des Graphen null.
Die 1. Ableitung gibt immer die Steigung des Graphen einer Funktion an.
Demnach muss also in einem Hochpunkt f '(x)=0 gelten und genau das bezeichnet man als notwendige Bedingung für Extrempunkte.
Kommst du damit weiter ?
11.01.2015, 17:18 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dann also die 1. Ableitung der Gleichung, die wir rausbekommen haben, gleich Null setzen und x1 & x2 rausbekommen? Und die dann in f(x) einsetzen um y zu bekommen, was ich dann in f"(x) einsetze um den Hochpunkt rauszukriegen?
11.01.2015, 17:24 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Werte für x1 und x2 in f '' einsetzt, dann ist entscheidend, ob dann eine positive oder negative Zahl rauskommt.
Ich nenne die Nullstelle der 1. Ableitung mal xE (wegen Extremstelle), dann gilt nämlich:

f ''(xE)<0 ----> in x=xE liegt ein Hochpunkt
f ''(xE)>0 ----> in x=xE liegt ein Tiefpunkt
11.01.2015, 17:25 dieShali Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dankesehr! Freude
11.01.2015, 17:33 Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem und viel Erfolg weiterhin. Wink
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