Komplexe Zahl in algebr./kart. Form bringen

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11.01.2015, 14:58	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl in algebr./kart. Form bringen Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der algebraischen/kartesischen Form $\begin{eqnarray} z = a+bi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ dar. $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{7}(k \cdot i^k) \end{eqnarray}$ Auch hier hab ich leider keine Ahnung, wie ich das machen soll. Hab einen kleinen Lösungshinweis: $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{5}k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \end{eqnarray}$ Aber wie wendet man das auf meine Aufgabe an? $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{7}(k \cdot i^k) = i \cdot (2 \cdot i^2) \cdot ... \end{eqnarray}$ So??
11.01.2015, 15:03	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so Was ergibt sich denn dann? Lg kgV
11.01.2015, 15:08	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahl in algebr./kart. Form bringen $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^{7}(k \cdot i^k) = i \cdot (2 \cdot i^2) \cdot (3 \cdot i^3) \cdot (4 \cdot i^4) \cdot (5 \cdot i^5) \cdot (6 \cdot i^6) \cdot (7 \cdot i^7) \end{eqnarray}$ Hmm.. was ergibt sich denn? Man könnte das ja jetzt ausmultiplizieren. Aber dann hätte ich erst nochmal eine Frage. i^2 ist ja -1, i^4 wäre dann wieder 1, i^6 wieder -1 usw.. aber was ist denn i^3 zum Beispiel?
11.01.2015, 15:14	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausmultiplizieren klingt gut Und $\begin{eqnarray} i^3=i^2\cdot i=\cdots \end{eqnarray}$
11.01.2015, 15:19	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann versuch ich das jetzt mal und hoffe, dass ich nicht durcheinander komm. Gibt es für solche langen Ausdrücke irgendwelche Tipps, damit es richtig wird? Weil (a+b)^3 bspw. ist ja schon recht "aufwändig" sag ich mal, damit man sich da nicht irgendwo verrechnet oder verschreibt.
11.01.2015, 15:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, hier hast du ja nur einfache Produkte, keine Binomis, mit der Potenzregel $\begin{eqnarray} (ab)^n=a^nb^n \end{eqnarray}$ ist das relativ leicht. Das Wichtigste sind definitiv die Potenzen von $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ , da einfach ein besonderes Auge drauf haben Leichter wird es, wenn du die Zahlen und die i's getrennt multiplizierst. Das darfst du ja, weil die Reihenfolge beim Multiplizieren keine Reihenfolge spielt
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11.01.2015, 15:24	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab die Lösung. 5040 müsste stimmen
11.01.2015, 15:27	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat wunderbar
11.01.2015, 15:28	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchtest du mir noch bei einer weiteren Aufgabe helfen? Dann muss ich nicht schon wieder einen neuen Thread öffnen
11.01.2015, 15:29	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine geht hier noch Her damit
11.01.2015, 15:33	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön Danke Um diese Aufgabe geht es: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n}(k \cdot i) \end{eqnarray}$ Darum geht es. Laut Lösungshinweis muss man das mit der Gaußschen Summenformel machen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}k= \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$
11.01.2015, 15:36	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung ist nur ein kleiner Gedanke: was darf man denn mit vom Summationsindex unabhängigen Faktoren in einer Summe machen?
11.01.2015, 15:39	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du, dass ich das ausmultiplizieren kann? Also $\begin{eqnarray} \frac{n^2 + n}{2} \end{eqnarray}$
11.01.2015, 15:42	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das meinte ich nicht Ich beziehe mich auf die ursprüngliche Form der Summe Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^42j \end{eqnarray*}$ Was kannst du hier mit der 2 machen?
11.01.2015, 15:46	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß echt nicht was du gerade meinst Was soll man damit großartig machen können
11.01.2015, 15:47	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Rausziehen zum Beispiel $\begin{eqnarray} \sum_{j=0}^42\cdot j=2\sum_{j=0}^4j \end{eqnarray}$ Und dann kannst du die Gauss'sche Summenformel verwenden
11.01.2015, 15:51	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoooo Also dann so hier? $\begin{eqnarray} k \sum_{k=0}^n i \end{eqnarray}$ Und k ist ja nun 0. Also ist die Lösung 0?
11.01.2015, 15:52	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Umgekehrt $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^nk\cdot i=i\sum_{k=0}^nk \end{eqnarray}$ Das k ist ja vom Index nicht unabhängig, das i dagegen schon und für die Summe kannst du jetzt die Gauss'sche Summenformel verwenden OS. Bin mal eben eine Viertelstunde offline
11.01.2015, 15:56	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. Die Lösung ist dann $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}{2}i \end{eqnarray}$ Aber warum und wieseo weiß ich auch nicht.
11.01.2015, 16:17	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung stimmt Und die Gültigkeit der Identität $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^nk=\frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray}$ ist ein leichter Induktionsbeweis Man kann sich diese Identität aber auch veranschaulichen: Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray}$ ist der Mittelwert über die Folgenglieder multipliziert mit ihrer Anzahl: Die Summe hat n wichtige Folgenglieder (das 0-te können wir getrost ignorieren). Die Summe aus erstem und letztem Folgenglied ist $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ . Das ist aber auch die summe von zweitem und vorletzem: $\begin{eqnarray} (n-1)+2=n+1 \end{eqnarray}$ . Und wie oft haben wir das? Genau $\begin{eqnarray} \frac n2 \end{eqnarray}$ mal. Also sit unsere Summe gleich $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray}$ Besser?
11.01.2015, 16:21	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein leider nicht. Ich hab die Lösung nur aus dem Lösungsblatt abgeschrieben, weil ich einfach nicht weiß, was ich überhaupt machen soll Hab keinen Lösungsweg aufgeschrieben..
11.01.2015, 16:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo genau liegt dein Verständnisproblem? Bei $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^nk=\frac{n(n+1)}2 \end{eqnarray}$ oder ganz woanders?
11.01.2015, 16:27	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wie haben ja nun das hier: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^nk\cdot i=i\sum_{k=0}^nk \end{eqnarray}$ Aber was genau bringt mir das? Wie mach ich jetzt weiter? Muss ich irgendwo etwas in eine Formel einsetzen, dann zusammenfassen/ausmultiplizieren oder sonstwas? Mein Verständnisproblem ist eigentlich nur, dass ich nicht weiß was ich machen muss. Wie diese Formel zustande kommt ist mir eigentlich erstmal "egal", finde es aber trotzdem schön, dass du es erklärt hast
11.01.2015, 16:33	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du an dieser Stelle noch tun musst, ist, die rechte Seite der Formel für deine Summe einzusetzen (da steht ja ein Gleichheitszeichen zwischen den beiden Termen, also ist es wurscht, welchen du hernimmst ). Dann hast du nämlich eine schön kompakte Form für deine komplexe Zahl dastehen, die nur mehr von n abhängt. Die Aufgabe ist sicher etwas theoretischer als die vorherigen, aber daran gewöhnt man sich schon
11.01.2015, 16:37	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau meinst du mit "rechte Seite der Formel"? Für das k soll ich $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ einsetzen?
11.01.2015, 16:49	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
nope, für die ganze Summe: $\begin{eqnarray} i{\color{red}\sum_{k=0}^nk}=i{\color{blue}\frac{n(n+1)}2} \end{eqnarray}$ Denn es ist ja $\begin{eqnarray} {\color{red}\sum_{k=0}^nk}={\color{blue}\frac{n(n+1)}2} \end{eqnarray}$ als Voraussetzung gegeben, also dürfen wir das eine für das andere schreiben. Siehst du, dass ich hier einfach einsetze? PS: tut mir leid, ich muss jetzt wieder weg, könnte diesmal auch eine halbe Stunde und länger dauern
11.01.2015, 16:58	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ok.. Und was wäre jetzt gewesen, wenn da stehen würde $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n}(k \cdot i) \end{eqnarray}$ ? So richtig versteh ich den Sinn hier nicht
11.01.2015, 17:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dem ki haben wir das i ja rausgezogen, das ist einfach ein Faktor, der mit der Summe nix zu tun hat. Vielleicht wird es klarer, wenn du dir die Summe schreibst als $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^nk\cdot i=0i+i+2i+3i+\ldots+ni=i\cdot (0+1+2+3+\ldots+n)=i\cdot\sum_{k=0}^nk \end{eqnarray*}$ Ob da null oder 1 im Index steht, ist egal, weil das 0-te Glied ohnehin eine null ist
11.01.2015, 17:51	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm okay. Und $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ schreibt man, weil das n über dem Summenzeichen steht?
11.01.2015, 18:04	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
genau Der Wert dieser Reihe ist nur von n abhängig
11.01.2015, 19:11	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also nochmal kurz eine "Zusammenfassung", ob ich es denn nun mal endlich verstanden hab. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n}(k \cdot i) = \frac{n(n+1)}{2}i \end{eqnarray}$ Diese Lösung, weil das n da oben steht. Richtig? Wenn es aber so hier ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{5}(k \cdot i) \end{eqnarray}$ Dann wäre die Lösung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{5}(k \cdot i) = (0 \cdot i) + (1 \cdot i) + (2 \cdot i) + ... + (5 \cdot i) = i + 2i + ... + 5i \end{eqnarray}$ Richtig? Wenn es so hier ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{5}(k \cdot i) \end{eqnarray}$ Dann wäre die Lösung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{5}(k \cdot i) = (1 \cdot i) + (2 \cdot i) + ... + (5 \cdot i) = i + 2i + ... + 5i \end{eqnarray}$ Richtig? Passt alles? Wenn deine Antwort "ja" ist, wage ich zu behaupten, dass ich es verstanden hab Wenn nicht muss ich
11.01.2015, 23:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Teil 1: ja Zu Teil 2: jein Deine Version passt ohne jeden Zweifel, aber es geht noch mehr: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^5=0i+\ldots+5i=\frac{5\cdot(5+1)}2i \end{eqnarray}$ Du kannst sicher bestätigen, dass $\begin{eqnarray} 0i+\ldots+5i=15i \end{eqnarray}$ gilt. Es ist aber auch $\begin{eqnarray} \frac{5(5+1)}2i=15i \end{eqnarray}$ , wie sich einfach nachrechnen lässt Und jetzt kommt's: in diesem Bruch habe ich für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ einfach die 5 in $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}2i \end{eqnarray}$ eingesetzt, die du mir statt dem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ auf die Summe gepackt hast Hättest du da oben eine 7 stehen gehabt, wäre die Lösung eben $\begin{eqnarray} \frac{7(7+1)}2i=28i \end{eqnarray}$ gewesen. Dass das gleich $\begin{eqnarray} 0i+1i+\ldots+7i \end{eqnarray}$ ist, darfst du im Zweifelsfall gern selbst nachrechnen
12.01.2015, 16:08	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay sehr schön, dann hab ich es wohl kapiert Denke ich zumindest ^^ Danke für deine Ausdauer
12.01.2015, 16:21	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Ding

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