Ableitung cos(x)

12.01.2015, 12:19

Lukases2

Ableitung cos(x)

Meine Idee
Ich habe hier mal die "Standard-Herleitung" von der Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h-f(x))}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{(\cos(x) \cos(h)-\sin(x)\sin(h))-\cos(x)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(x)(\cos(h)-1)}{h}\right)-\lim_{h \to 0}\left( \frac{\sin(x) \sin(h)}{h} \right) \\ = \cos(x) \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) - \sin(x) \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) \\ = \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1 \\ = -\sin(x) \end{eqnarray*}$

Aber das hat recht wenig mit Induktion zu tun. Welche vier Ansätze ich da wählen soll, ist mir auch unklar, aber vielleicht komme ich drauf, wenn ich das mit der Induktion verstanden habe.
Weiterhin verstehe ich das mit der n-ten Ableitung nicht. Ist damit
$\begin{eqnarray*} \cos(x) \rightarrow -\sin(x) \rightarrow -\cos(x) \rightarrow \sin(x) \rightarrow \cos(x) \rightarrow ... \end{eqnarray*}$
gemeint? Das dreht sich ja quasi immer im Kreis. Warum dann n-te Ableitung?

12.01.2015, 12:42

klarsoweit

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RE: Ableitung cos(x)

Zitat:

Original von Lukases2
Das dreht sich ja quasi immer im Kreis. Warum dann n-te Ableitung?

Weil es eben die n-te Ableitung gibt. Daß man sich da im Kreis bewegt, ist ja kein Hindernis. Bei der e-Funktion ist das prinzipiell ähnlich gelagert.

Insgesamt irgendwie eine blöde Aufgabe. Man braucht ja erstmal eine zu beweisende Aussage. Ich könnte mir so etwas vorstellen:

Für f(x) = cos(x) und n aus N ist $\begin{eqnarray*} f^{(4n)}(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mußt du noch Aussagen formulieren für $\begin{eqnarray*} f^{(4n+1)}(x), f^{(4n+2)}(x) \text{ und } f^{(4n+3)}(x) \end{eqnarray*}$ .

12.01.2015, 13:38

Lukases2

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Das hat schonmal geholfen, aber ganz verstanden habe ich es noch nicht.

$\begin{eqnarray*} f^{n} (x) = f^{(4n)}(x) \Longleftrightarrow \cos(x) = \cos(x) \text{ sei schon bewiesen.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IA(n = 1): \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^1(x) = f^4(x) \Longleftrightarrow -\sin(x) = -\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{1}(x) = -\sin(x), f^{4}(x) = -\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IS (n \rightarrow n+1): \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x) = f^{(4(n+1))}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow f^{n}(x) + f^{1}(x) = f^{4n}(x) + f^{4}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \cos(x)-\sin(x) = \cos(x) - \sin(x) \end{eqnarray*}$

Bis $\begin{eqnarray*} IV \backslash IV \end{eqnarray*}$ habe ich durchgeblickt, dann habe ich mir da so ein paar Sachen zusammengereimt, die wahrscheinlich Schwachsinn sind. Kann man das so in die Richtung denn machen?

12.01.2015, 13:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lukases2
$\begin{eqnarray*} f^{n} (x) = f^{(4n)}(x) \Longleftrightarrow \cos(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

Erstens ist das gar nicht zu zeigen (sondern das, was ich oben geschrieben habe) und zweitens, was soll da in der einen Richtung gezeigt werden?:

Wenn $\begin{eqnarray*} f^{(n)} (x) = f^{(4n)}(x) \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt cos(x) = cos(x) ? verwirrt

Also es ist immer cos(x) = cos(x) . Was soll das also?

12.01.2015, 14:19

Lukases2

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Ich scheiter wahrscheinlich dann schon am Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} A_{n=1}: f^{4}(x) = \cos(x), A_{n=2}: f^{8n}=\cos(x), ... \end{eqnarray*}$
richtig?

Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1: ... \end{eqnarray*}$
Hier komme ich nicht weiter. soll ich jetzt nicht nächste Ableitung einsetzen? Oder Gleichheit zeigen?

12.01.2015, 14:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lukases2
Ich scheiter wahrscheinlich dann schon am Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} A_{n=1}: f^{4}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

Im Prinzip hast du das ja schon gezeigt, indem du die 4. Ableitung von cos(x) gebildet hast. Beachte: die Schreibweise ist so, daß die Ordnung der Ableitung in Klammern gesetzt wird. Also: $\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lukases2
$\begin{eqnarray*} A_{n=2}: f^{8n}=\cos(x), ... \end{eqnarray*}$

Wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} A_{n=2}: f^{(8)}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ . Ist aber überflüssig, denn der Induktionsanfang ist schon erledigt und für den Induktionsschritt braucht man das nicht.

Zitat:

Original von Lukases2
Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1: ... \end{eqnarray*}$
Hier komme ich nicht weiter. soll ich jetzt nicht nächste Ableitung einsetzen? Oder Gleichheit zeigen?

Du sollst zeigen, daß aus $\begin{eqnarray*} f^{(4n)}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ folgt.

Dazu mußt du nur $\begin{eqnarray*} f^{(4n)}(x) \end{eqnarray*}$ viermal ableiten. Augenzwinkern

12.01.2015, 16:15

Lukases2

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Es gilt ja:
$\begin{eqnarray*} 4(n+1) = (4n)+4 \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x) = f^{((4n)+4)}(x) \Longleftrightarrow \cos(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$
Das wars jetzt schon? Was ist mit der Fallunterscheidung? Und welchte vier Induktionsanfänge?

13.01.2015, 09:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lukases2
Also:
$\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x) = f^{((4n)+4)}(x) \Longleftrightarrow \cos(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$
Das wars jetzt schon?

Nein, das wars nicht. Das einzige, was ok ist, ist $\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x) = f^{((4n)+4)}(x) \end{eqnarray*}$ . Aber was willst du eigentlich schon wieder mit diesem $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \cos(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ ?
Schau doch mal auf das, was im Induktionsschritt zu beweisen ist. Ich habe es in meinem letzten Beitrag extra hingeschrieben:
$\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt nutzen wir, daß $\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x) = f^{((4n)+4)}(x) \end{eqnarray*}$ ist, und es bleibt also noch zu zeigen: $\begin{eqnarray*} f^{(4n+4)}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

Was dazu zu machen iost, habe ich auch schon erwähnt.

Zitat:

Original von Lukases2
Was ist mit der Fallunterscheidung? Und welchte vier Induktionsanfänge?

Es gibt insgesamt 4 Fälle, für die jeweils eine Aussage (mittels Induktion) zu beweisen ist. Momentan sind wir bei der allerersten.

13.01.2015, 10:46

Lukases2

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Wenn man jetzt davon ausgeht, dass
$\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$
ist, dann ist doch auch offensichtlich
$\begin{eqnarray*} f^{((4n)+4)}(x)=\cos(x). \end{eqnarray*}$
Das wollte ich mit
$\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x)=f^{((4n)+4)}(x) \Longleftrightarrow \cos(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$
sagen.
Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ setze, dann habe ich eben dieses $\begin{eqnarray*} \cos(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} n=1,...,k \text{ } , k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ habe ich jeweils auch dieses $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ . Oder anders gesagt: Alle vier Ableitungen bin ich wieder bei $\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x)=f^{(4n+4)}(x)=\cos(x), n \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ angekommen. ( $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ sein.)

Sind das meine vier Fälle? Ich glaube nicht ...

13.01.2015, 11:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lukases2
Wenn man jetzt davon ausgeht, dass
$\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

Davon sollst du nicht ausgehen, sondern genau das mußt du mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung beweisen.

Bezüglich der weiteren Fälle hatte ich schon gesagt, was noch fehlt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt mußt du noch Aussagen formulieren für $\begin{eqnarray*} f^{(4n+1)}(x), f^{(4n+2)}(x) \text{ und } f^{(4n+3)}(x) \end{eqnarray*}$ .

Aber mach doch erstmal den einen Beweis fertig. (Das scheint ja schon schwierig genug zu sein.) Dann kommen die anderen Fälle dran.

13.01.2015, 11:25

Lukases2

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Wovon darf ich denn ausgehen? $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ ist ja eine $\begin{eqnarray*} IV \end{eqnarray*}$ . Und Jetzt? Vier mal Ableiten?
$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(x)=-\cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$
Ist das die $\begin{eqnarray*} IV \end{eqnarray*}$ ?

13.01.2015, 11:39

klarsoweit

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RE: Ableitung cos(x)
Das ist die IV:

Zitat:

Original von klarsoweit
Für f(x) = cos(x) und n aus N ist $\begin{eqnarray*} f^{(4n)}(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Merke: bei der vollständigen Induktion ist im Induktionsschritt die zu beweisende Aussage automatisch die IV.

Zitat:

Original von Lukases2
Wovon darf ich denn ausgehen? $\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ ist ja eine $\begin{eqnarray*} IV \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist die betrachtete Funktion.

Insgesamt verdichtet sich der Eindruck, daß du das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht verinnerlicht hast.

13.01.2015, 12:15

HAL 9000

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(Ein wenig) off-topic

Zitat:

Original von klarsoweit
Merke: bei der vollständigen Induktion ist im Induktionsschritt die zu beweisende Aussage automatisch die IV.

Formal richtig, wenn man als Induktionsschritt $\begin{align*} n\to n+1 \end{align*}$ beabsichtigt - so wie es überwiegend an den Schulen gelehrt wird.

Betrachtet man aber als Induktionsschritt $\begin{align*} n-1\to n \end{align*}$ , wie es sehr oft technisch günstiger ist infolge weniger Schreib- und Rechenarbeit (z.B. nahezu immer beim Beweis von irgendwelchen Summenformeln), so ist diese Aussage natürlich nicht mehr zutreffend.

13.01.2015, 17:22

Lukases2

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$\begin{eqnarray*} IA: A_{n=1}: f^{(4)}(x)=\cos(x), A_{n=2}: f^{(8)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV: f^{(4n)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IS: n \rightarrow n+1: f^{(4(n+1))}(x)=f^{(4n+4)}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4n)}(x) \overset{\text{IV}}{=}\cos(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ Damit gilt:
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich es nun damit verstanden habe. Ich habe gezeigt, dass aus $\begin{eqnarray*} f^{(4n+4)}(x) \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt wiederrum $\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$
Irgendwie fällt es mir aber schwer, das ganze in Worte zu fassen.

Folgende Idee kommt mir gerade noch:
$\begin{eqnarray*} f^{(4n+4)}(x) \end{eqnarray*}$ viermal abgeleitet ist ja $\begin{eqnarray*} f^{(4n+4-4)}(x)=f^{(4n)}(x) \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} f^{(4n)}(x) \overset{\text{IV}}{=}\cos(x) \end{eqnarray*}$ Damit habe ich gezeigt:
$\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}=\cos(x) \end{eqnarray*}$ und bin fertig. Oder?

13.01.2015, 18:04

klarsoweit

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Irgendwie hast du dich total verwurschelt. Die relevanten nutzbaren Teile fasse ich mal zusammen:

Zitat:

Original von Lukases2
$\begin{eqnarray*} IA: A_{n=1}: f^{(4)}(x)=\cos(x), A_{n=2}: f^{(8)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

Als Induktionsanfang reicht völlig der Nachweis, daß $\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ gilt. Das hast du quasi schon im 1. Beitrag gezeigt, indem du cos(x) viermal abgeleitet hast.

Zitat:

Original von Lukases2
$\begin{eqnarray*} IV: f^{(4n)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IS: n \rightarrow n+1: f^{(4(n+1))}(x)=f^{(4n+4)}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{(4n)}(x) \overset{\text{IV}}{=}\cos(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ Damit gilt:
$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

Erstmal ist im IS nur die Gleichung $\begin{eqnarray*} f^{(4(n+1))}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ zu zeigen (und nichts anderes). Es ergibt auch keinen Sinn, im Induktionsschritt nochmal den Induktionsanfang zu zeigen.

Dazu nehmen wir nun die $\begin{eqnarray*} IV: f^{(4n)}(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ und leiten auf beiden Seiten viermal ab. Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} f^{(4n+4)}(x) = (\cos(x))'''' \Rightarrow f^{(4(n+1))}(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$

Fertig!.

13.01.2015, 20:44

Kegorus

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kure Zwischenfrage zum allerersten Post:

Wie kann man $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}=0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{sin(h)}{h}=1 \end{eqnarray*}$ hier berechnen?

Weil Hospital kann man (zumindest auf den Cosinus-Teil) ja nicht anwenden, da die Ableitung vom Cosinus zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt ist..

13.01.2015, 20:57

Hippocampus

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Zitat:

Original von Kegorus
kure Zwischenfrage zum allerersten Post:

Wie kann man $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{cos(h)-1}{h}=0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{sin(h)}{h}=1 \end{eqnarray*}$ hier berechnen?

Weil Hospital kann man (zumindest auf den Cosinus-Teil) ja nicht anwenden, da die Ableitung vom Cosinus zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt ist..

Das sind jeweils die Steigungen der Funktionen $\begin{eqnarray*} \sin x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .
Wink

16.01.2015, 16:09

Lukases2

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Das ist die Musterlösung:
Behauptung:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*} \cos^n (x) = \begin{cases} \cos(x) & n=4k \\ -\sin(x)& 4k+1 \\ -\cos(x) & n=4k+2 \\ \sin(x)& n=4k+3 \end{cases} \end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \begin{align*} n=0: \cos^{(0)}(x)=\cos(x)\\ n=1: \cos'(x) = -\sin(x)\\ n=2: \cos''(x) = \cos'' = (\cos')'(x)=-\cos(x) \\ n=3: \cos'''(x) = ((\cos''))'(x)=\sin(x) \end{align*} \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \text{1.Fall:} \begin{align*} \exists k \in \mathbb{N} : n+1=4k+1 \Rightarrow n=4k \\ \Rightarrow \overset{IV}{\Rightarrow} cos^{(n)}(x) = \cos(x) \Rightarrow (\cos(x))'= -\sin(x) \end{align*} \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*} \text{2. Fall:} \begin{align*} \exists k \in \mathbb{N} : n+1=4k+2 \Rightarrow n=4k+1\\ \Rightarrow \cos(x)^{(n-1)}(x)=(\cos^{(n)})' \overset{IV}{=}(-\sin(x))'=-\cos(x) \end{align*} \text{3. Fall} \begin{align*} \exists k \in \mathbb{N} : n+2=4k+2 \Rightarrow n=4k+2\\ \Rightarrow \cos(x)^{(n-1)}(x)=(\cos^{(n)}(x))' \overset{IV}{=}(-\cos(x))'=\sin(x) \end{align*} \text{4. Fall} \begin{align*} \exists k \in \mathbb{N} : n+1=4k+3 \Rightarrow n=4k+3\\ \Rightarrow \cos^{(n+1)}(x)=(\cos^{(n)}(x))' \overset{IV}{=} (\sin(x))'=\cos(x) \end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe mich nicht vertippt.
Danke für die Hilfe!

Edit:
Ich finde den Fehler in Latex nicht, bei TeXmaker funktioniert er ...

kgV: Latex korrigiert. Dein Problem war, dass der latex-Tag standardmäßig eine eqnarray*-Umgebung öffnet, in die du dann dein align* schachtelst, was Latex logisch nicht mag Augenzwinkern

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