Ableitung cos(x) |
12.01.2015, 12:19 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ableitung cos(x) Ich habe hier mal die "Standard-Herleitung" von der Ableitung von : Aber das hat recht wenig mit Induktion zu tun. Welche vier Ansätze ich da wählen soll, ist mir auch unklar, aber vielleicht komme ich drauf, wenn ich das mit der Induktion verstanden habe. Weiterhin verstehe ich das mit der n-ten Ableitung nicht. Ist damit gemeint? Das dreht sich ja quasi immer im Kreis. Warum dann n-te Ableitung? |
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12.01.2015, 12:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ableitung cos(x)
Weil es eben die n-te Ableitung gibt. Daß man sich da im Kreis bewegt, ist ja kein Hindernis. Bei der e-Funktion ist das prinzipiell ähnlich gelagert. Insgesamt irgendwie eine blöde Aufgabe. Man braucht ja erstmal eine zu beweisende Aussage. Ich könnte mir so etwas vorstellen: Für f(x) = cos(x) und n aus N ist . Jetzt mußt du noch Aussagen formulieren für . |
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12.01.2015, 13:38 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das hat schonmal geholfen, aber ganz verstanden habe ich es noch nicht. Bis habe ich durchgeblickt, dann habe ich mir da so ein paar Sachen zusammengereimt, die wahrscheinlich Schwachsinn sind. Kann man das so in die Richtung denn machen? |
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12.01.2015, 13:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstens ist das gar nicht zu zeigen (sondern das, was ich oben geschrieben habe) und zweitens, was soll da in der einen Richtung gezeigt werden?: Wenn ist, dann folgt cos(x) = cos(x) ? Also es ist immer cos(x) = cos(x) . Was soll das also? |
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12.01.2015, 14:19 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich scheiter wahrscheinlich dann schon am Induktionsanfang: richtig? Induktionsschritt: Hier komme ich nicht weiter. soll ich jetzt nicht nächste Ableitung einsetzen? Oder Gleichheit zeigen? |
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12.01.2015, 14:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Im Prinzip hast du das ja schon gezeigt, indem du die 4. Ableitung von cos(x) gebildet hast. Beachte: die Schreibweise ist so, daß die Ordnung der Ableitung in Klammern gesetzt wird. Also:
Wenn schon, dann . Ist aber überflüssig, denn der Induktionsanfang ist schon erledigt und für den Induktionsschritt braucht man das nicht.
Du sollst zeigen, daß aus die Gleichung folgt. Dazu mußt du nur viermal ableiten. |
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12.01.2015, 16:15 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gilt ja: Also: Das wars jetzt schon? Was ist mit der Fallunterscheidung? Und welchte vier Induktionsanfänge? |
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13.01.2015, 09:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das wars nicht. Das einzige, was ok ist, ist . Aber was willst du eigentlich schon wieder mit diesem ? Schau doch mal auf das, was im Induktionsschritt zu beweisen ist. Ich habe es in meinem letzten Beitrag extra hingeschrieben: Jetzt nutzen wir, daß ist, und es bleibt also noch zu zeigen: Was dazu zu machen iost, habe ich auch schon erwähnt.
Es gibt insgesamt 4 Fälle, für die jeweils eine Aussage (mittels Induktion) zu beweisen ist. Momentan sind wir bei der allerersten. |
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13.01.2015, 10:46 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn man jetzt davon ausgeht, dass ist, dann ist doch auch offensichtlich Das wollte ich mit sagen. Wenn ich jetzt setze, dann habe ich eben dieses . Für habe ich jeweils auch dieses . Oder anders gesagt: Alle vier Ableitungen bin ich wieder bei angekommen. ( soll sein.) Sind das meine vier Fälle? Ich glaube nicht ... |
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13.01.2015, 11:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Davon sollst du nicht ausgehen, sondern genau das mußt du mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung beweisen. Bezüglich der weiteren Fälle hatte ich schon gesagt, was noch fehlt:
Aber mach doch erstmal den einen Beweis fertig. (Das scheint ja schon schwierig genug zu sein.) Dann kommen die anderen Fälle dran. |
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13.01.2015, 11:25 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wovon darf ich denn ausgehen? ist ja eine . Und Jetzt? Vier mal Ableiten? Ist das die ? |
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13.01.2015, 11:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Ableitung cos(x) Das ist die IV:
Merke: bei der vollständigen Induktion ist im Induktionsschritt die zu beweisende Aussage automatisch die IV.
Nein, das ist die betrachtete Funktion. Insgesamt verdichtet sich der Eindruck, daß du das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht verinnerlicht hast. |
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13.01.2015, 12:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(Ein wenig) off-topic
Formal richtig, wenn man als Induktionsschritt beabsichtigt - so wie es überwiegend an den Schulen gelehrt wird. Betrachtet man aber als Induktionsschritt , wie es sehr oft technisch günstiger ist infolge weniger Schreib- und Rechenarbeit (z.B. nahezu immer beim Beweis von irgendwelchen Summenformeln), so ist diese Aussage natürlich nicht mehr zutreffend. |
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13.01.2015, 17:22 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Damit gilt: Ich hoffe, dass ich es nun damit verstanden habe. Ich habe gezeigt, dass aus folgt: . Daraus folgt wiederrum Irgendwie fällt es mir aber schwer, das ganze in Worte zu fassen. Folgende Idee kommt mir gerade noch: viermal abgeleitet ist ja Und Damit habe ich gezeigt: und bin fertig. Oder? |
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13.01.2015, 18:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Irgendwie hast du dich total verwurschelt. Die relevanten nutzbaren Teile fasse ich mal zusammen:
Als Induktionsanfang reicht völlig der Nachweis, daß gilt. Das hast du quasi schon im 1. Beitrag gezeigt, indem du cos(x) viermal abgeleitet hast.
Erstmal ist im IS nur die Gleichung zu zeigen (und nichts anderes). Es ergibt auch keinen Sinn, im Induktionsschritt nochmal den Induktionsanfang zu zeigen. Dazu nehmen wir nun die und leiten auf beiden Seiten viermal ab. Das ergibt: Fertig!. |
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13.01.2015, 20:44 | Kegorus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
kure Zwischenfrage zum allerersten Post: Wie kann man und hier berechnen? Weil Hospital kann man (zumindest auf den Cosinus-Teil) ja nicht anwenden, da die Ableitung vom Cosinus zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt ist.. |
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13.01.2015, 20:57 | Hippocampus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das sind jeweils die Steigungen der Funktionen bzw. an der Stelle . |
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16.01.2015, 16:09 | Lukases2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist die Musterlösung: Behauptung: Induktionsanfang: Induktionsschritt: Ich hoffe ich habe mich nicht vertippt. Danke für die Hilfe! Edit: Ich finde den Fehler in Latex nicht, bei TeXmaker funktioniert er ... kgV: Latex korrigiert. Dein Problem war, dass der latex-Tag standardmäßig eine eqnarray*-Umgebung öffnet, in die du dann dein align* schachtelst, was Latex logisch nicht mag |
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