Koordinaten zu Punkt auf Kugeloberfläche

12.01.2015, 17:18

blende8

Koordinaten zu Punkt auf Kugeloberfläche

Hallo,

ich arbeite momentan an einem Problem, bei dem ich zunächst meinte, dass es recht leicht zu lösen wäre, nun bereitet es mir aber doch größere Probleme. Ich dachte zwar schon, dass ich die Lösung gefunden hab, allerdings lassen die Ergebnisse darauf schließen, dass irgendetwas nicht stimmt. Deshalb bitte ich euch mal drüber zu schauen.

Da es nur mit Worten umständlich zu beschreiben ist hier gleich ein Bild.
[attach]36765[/attach]
Die Kugel soll ein Auge darstellen, was auf einen Punkt D auf dem Bildschirm schaut. Ich will nun die kartesischen Koordinaten von dem Punkt A des Sichtstrahls wo er durch die Kugeloberfläche stößt. Alle eingezeichneten Geometrien sind bekannt.

In einem 2. Bild wird es vielleicht noch klarer. Ich möchte die in rot eingezeichneten Strecken x', y', z' berechnen.
[attach]36766[/attach]

Meine bisherige Berechnung lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \gamma = arctan\left(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2} }}{n}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = arctan\left(\frac{a}{n} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta = arctan\left(\frac{b}{n} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' = n - r\cdot cos(\gamma ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x' = r\cdot cos(\gamma )\cdot tan(\alpha ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = r\cdot cos(\gamma )\cdot tan(\beta ) \end{eqnarray*}$

Vergleiche ich die Ergebnisse dieser Berechnungen mit aus Bilddaten erfasster Messdaten, so scheint ein systematischer Fehler aufzutreten, je größer die Winkel werden. Deshalb gehe ich davon aus, das etwas mit der Berechnung noch nicht stimmt.

Wäre super, wenn ihr mir helfen könnt.
Viele Grüße
Julian

12.01.2015, 17:47

HAL 9000

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RE: Koordinaten zu Punkt auf Kugeloberfläche

Zitat:

Original von blende8
Die Kugel soll ein Auge darstellen, was auf einen Punkt D auf dem Bildschirm schaut. Ich will nun die kartesischen Koordinaten von dem Punkt A des Sichtstrahls wo er durch die Kugeloberfläche stößt.

Wenn das dein eigentliches Ziel ist: Schneide doch einfach die Gerade $\begin{align*} MD \end{align*}$ mit Parameterdarstellung

$\begin{align*} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ n \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} a\\ b\\ -n \end{pmatrix} \end{align*}$

mit der Augen-Kugel $\begin{align*} x^2+y^2+(z-n)^2=r^2 \end{align*}$ , der entsprechende Parameterwert $\begin{align*} t \end{align*}$ des Schnittpunktes ist leicht bestimmbar - schon bist du fertig.

12.01.2015, 17:52

riwe

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RE: Koordinaten zu Punkt auf Kugeloberfläche
wenn du die Koordinaten des Punktes A auf der Kugeloberfläche wissen willst, mach´s doch vektoriell, das wäre ziemlich einfach

entschuldige HAL Gott

12.01.2015, 19:19

blende8

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Vielen Dank euch.
Wunder mich grade über mich, warum ich nicht selber auf die Idee gekommen bin es vektoriell zu machen. Bietet sich hier ja eigentlich auf den ersten Blick sehr gut an.

Bin ich mir nur nicht mehr ganz sicher ob ich es richtig mache, da Vektorrechnung schon lange her ist Augenzwinkern

Stimmt es, wenn ich die Gerade in die Kugelgleichung einsetze und damit eine quadratische Gleichung für t erhalte? Die lautet dann bei mir:
$\begin{eqnarray*} t_{1/2} = \pm \frac{\sqrt{4r^{2}\cdot (a^{2}+b^{2}+n^{2})} }{2(a^{2}+b^{2}+n^{2})} \end{eqnarray*}$

Ist diese richtig? Kann ich irgendwie vorher wissen, welche der zwei Lösungen die gesuchte ist?
Es müsste ja immer die sein, bei dem der kleinere z Wert rauskommt, da der Punkt dazu immer näher am Ursprung liegt.

Viele Grüße
Julian

12.01.2015, 20:00

blende8

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Ich hab es nun mal implementiert und bekomme exakt die gleichen Ergebnisse wie mit meiner alten Berechnung. Das heißt wohl es war doch richtig und der Fehler muss wo anders liegen. Auf jeden Fall habe ich jetzt dank euch einen eleganteren Weg zur Berechnung der Koordinaten Freude

Also vielen Dank nochmal für den Tipp.

Grüße
Julian

12.01.2015, 22:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von blende8
Kann ich irgendwie vorher wissen, welche der zwei Lösungen die gesuchte ist?

Ja: Die positive.

Die negative gehört zu dem zweiten Schnittpunkt der genannten Geraden mit der Kugel, sozusagen im Augenhintergrund.

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