Beweis zur Surjektivität einer dualen Abbildung (Verständnisfrage) |
| 12.01.2015, 19:06 | skywalker232 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis zur Surjektivität einer dualen Abbildung (Verständnisfrage) Guten Abend allerseits, ich beschäftige mich gerade mit dualen Abbildungen und bin über einen Beweis zum Satz "Wenn f injektiv ist, dann ist f* surjektiv." gestolpert, den ich an einer Stelle nicht ganz verstehe. Der Beweis ist im Anhang zu finden oder hier nachzulesen: http://www.math.uni-augsburg.de/prof/diff/dokumente/LinAlgSS13/Uebungs_Blaetter/Blatt_10_Loesung.pdf Meine Frage ist nun: Warum ist die Abbildung psi in diesem Beweis linear? Meine Ideen: Sie wird ja so definiert, dass psi(w)=a(v), falls w=f(v), und psi(w)=0 für alle sonstigen Fälle. Wenn wir nun einen Vektor a aus W nehmen, der im Bild von f liegt, und einen Vektor b aus W nehmen, der nicht im Bild von f liegt, dann müsste für die Linearität unter anderem gelten: psi(a+b) = psi(a)+psi(b) = psi(a)+0 = psi(a). Aber woher soll man denn wissen, ob a+b überhaupt im Bild von f liegt? |
||
| 12.01.2015, 20:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nicht alle Vektoren, die nicht im Bild liegen werden auf Null abgebildet! Nur solche Vektoren die bzgl. der (vorher gewählten) Zerlegung von W keine Komponente im Bild haben, werden auf Null abgebildet. Die Tatsache, dass wir die Zerlegung vorher wählen mussten, zeigt, dass das Urbild keineswegs kanonisch ist (So wie beim Dualraum üblich. Kanonisch wird die Sache ja erst im Bidualraum). Aber unabhängig davon ist die direkte Summe nunmal ein Koprodukt in der Kategorie der Vektorräume, das heißt eine Abbildung aus der direkten Summe heraus gibt man an, in dem man Abbildungen aus den beiden Summanden angibt. Und genau das wurde hier gemacht. |
||
| 13.01.2015, 15:35 | skywalker232 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke schön, das hat geholfen! 
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
