Integration, Differentialgleichung |
12.01.2015, 19:36 | Morbz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Integration, Differentialgleichung ich muss folgende Funktion 1. integrieren: Ich habe es bereits mit substitution versucht: und u = x^2-4x+3 gesetzt => erhält man: = Allerdings bezweifle ich, dass es stimmt!? Kann mir jemand sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe? Viele Grüße Morbz |
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12.01.2015, 19:38 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
fällt dir im Nenner vielleicht eine mögliche Faktorisierung auf? |
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12.01.2015, 19:39 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Faktorisiere doch erstmal deinen Nenner. edit: und wieder weg... |
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12.01.2015, 20:54 | Morbz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ist: und als Lösung: Auf soetwas muss man erst einmal kommen. Gibt es da einen Trick, wie man soetwas schnell erkennt? Auf jeden Fall vielen Dank für eure Hilfe! Gruß, Morbz |
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12.01.2015, 20:57 | Mi_cha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Idee mit der Substitution ist nicht schlecht, nur kommt man damit hier nicht weiter. Dann sollte man immer mal überlegen, ob sich irgendwie eine Vereinfachung bewirken lässt. Dann findet man u.U. bin. Formeln oder andere Faktorisierungen wie hier. Da hilft eigentlich nur Übung |
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12.01.2015, 22:00 | Gardylulz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja gibt eigentlich ein recht einfaches Rezept dafür. (find ich) Zählergrad > Nennergrad erstmal Polynomdivision Zählergrad = Nennergrad => Polynomdivision oder schauen, ob man mit erweitern den Term in einfachere Terme aufsplitten kann. Zählergrad < Nennergrad => Schauen, ob im Zähler die Ableitung vom Nenner steht (evtl. bisschen Umformen nötig) => ln oder => schauen, ob der Nenner keine Nullstellen hat und sich auf die Form x^2+a^2 bringen lässt =>arctan oder => schauen, ob der Nenner sich faktorisieren lässt(Mitternachtsformel) Natürlich gibt es hier und da Tricks, um eleganter bzw. schneller auf die Stamm- bzw. Integralfunktion zu kommen, aber damit lässt es sich auch schon gut arbeiten ... |
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12.01.2015, 23:24 | Morbz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für eure Antworten! Ihr habt mir sehr geholfen. Leider habe ich nochmals ein Problem, diesmal mit einer linearen Differentialgleichung. Ich hoffe, es ist in Ordnung, wenn ich das in diesem Thread noch dazu schreibe. Die DGL lautet: Mein Ansatz: Substitution mit: mit folgt: Das z kürzt sich raus und man teilt durch x: Integrieren: Rücksubstitution: Ich vermute mal, dass meine Lösung nicht stimmt, oder? Viele Grüße Morbz |
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12.01.2015, 23:53 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist leider ein Irrglaube, denn z hat auf den beiden Seiten NICHT das gleiche Vorzeichen. mY+ |
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13.01.2015, 01:18 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch ein Hinweis zur Lösung: Multipliziere mit x Jetzt integrieren, C nicht vergessen ... mY+ [ ] |
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13.01.2015, 13:57 | Morbz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Antworten!
Stimmt, da war ich wohl etwas unaufmerksam: Richtig müsste es also heißen:
Leider verstehe ich nicht ganz, wie du auf den zweiten Teil kommst (und wo dort das y hin ist). Bei der anschließenden Integration gilt dann nach deinem Ansatz: oder darf man das x auf der linken Seite nicht vor das Integral ziehen? Ist es grundsätzlich falsch die DGL wie eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zu lösen? Viele Grüße Morbz |
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16.01.2015, 12:23 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
x VOR das Integral zu ziehen ist falsch, denn x ist ja eine Variable (und keine Konstante)! ------- Nach der Multiplikation mit x steht dann Auf der linken Seite steht dann gerade die Ableitung von (xy), nach der Produktregel (!) [x ist die unabhängige Variable, aber y ist eine Funktion von x] Übrigens, ob die Lösung stimmt, kann leicht durch Einsetzen in die Diff.gl. überprüft werden. mY+ |
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18.01.2015, 21:07 | Morbz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Eine Frage noch. Ist das Lösungsschema mit Substitution von nur sinnvoll, wenn z dann auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen hat und sich rauskürzt? Viele Grüße Morbz |
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18.01.2015, 21:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht unbedingt. Das richtet sich nach der Angabe. Es kommt darauf an, ob NACH der Substitution eine Vereinfachung zu erkennen ist oder nicht. Das war hier offensichtlich nicht der Fall. Deswegen kann man sich eine andere Substitution überlegen: Diese bringt's! --> --> Einsetzen in die gegeben Gleichung Hier fallen die y weg! Nun intergrieren und resubstituieren, wir haben das selbe Resultat! mY+ |
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