Integration, Differentialgleichung

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Morbz Auf diesen Beitrag antworten »
Integration, Differentialgleichung
Hallo zusammen,
ich muss folgende Funktion 1. integrieren:



Ich habe es bereits mit substitution versucht:
und u = x^2-4x+3 gesetzt =>
erhält man:
=








Allerdings bezweifle ich, dass es stimmt!?

Kann mir jemand sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe?


Viele Grüße
Morbz
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

fällt dir im Nenner vielleicht eine mögliche Faktorisierung auf?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Faktorisiere doch erstmal deinen Nenner. Augenzwinkern

edit: und wieder weg... Wink
Morbz Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist:


und als Lösung:

Auf soetwas muss man erst einmal kommen. Gott
Gibt es da einen Trick, wie man soetwas schnell erkennt?


Auf jeden Fall vielen Dank für eure Hilfe!


Gruß,
Morbz
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee mit der Substitution ist nicht schlecht, nur kommt man damit hier nicht weiter.

Dann sollte man immer mal überlegen, ob sich irgendwie eine Vereinfachung bewirken lässt.
Dann findet man u.U. bin. Formeln oder andere Faktorisierungen wie hier. Da hilft eigentlich nur Übung Augenzwinkern
Gardylulz Auf diesen Beitrag antworten »

Naja gibt eigentlich ein recht einfaches Rezept dafür. (find ich)

Zählergrad > Nennergrad erstmal Polynomdivision
Zählergrad = Nennergrad

=> Polynomdivision oder schauen, ob man mit erweitern den Term in einfachere Terme aufsplitten kann.
Zählergrad < Nennergrad

=> Schauen, ob im Zähler die Ableitung vom Nenner steht (evtl. bisschen Umformen nötig) => ln
oder
=> schauen, ob der Nenner keine Nullstellen hat und sich auf die Form x^2+a^2 bringen lässt =>arctan
oder
=> schauen, ob der Nenner sich faktorisieren lässt(Mitternachtsformel)

Natürlich gibt es hier und da Tricks, um eleganter bzw. schneller auf die Stamm- bzw. Integralfunktion zu kommen, aber damit lässt es sich auch schon gut arbeiten ...
 
 
Morbz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten!
Ihr habt mir sehr geholfen.

Leider habe ich nochmals ein Problem, diesmal mit einer linearen Differentialgleichung.
Ich hoffe, es ist in Ordnung, wenn ich das in diesem Thread noch dazu schreibe.

Die DGL lautet:


Mein Ansatz:

Substitution mit:




mit
folgt:

Das z kürzt sich raus und man teilt durch x:



Integrieren:




Rücksubstitution:



Ich vermute mal, dass meine Lösung nicht stimmt, oder? unglücklich


Viele Grüße
Morbz
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Morbz
...
mit
folgt:

Das z kürzt sich raus ...
...

Das ist leider ein Irrglaube, denn z hat auf den beiden Seiten NICHT das gleiche Vorzeichen.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Hinweis zur Lösung:
Multipliziere mit x







Jetzt integrieren, C nicht vergessen ...

mY+

[ ]
Morbz Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antworten!

Zitat:
Zitat: Original von Morbz ... mit folgt: Das z kürzt sich raus ... ...
Das ist leider ein Irrglaube, denn z hat auf den beiden Seiten NICHT das gleiche Vorzeichen. mY+


Stimmt, da war ich wohl etwas unaufmerksam: Richtig müsste es also heißen:

Zitat:
Noch ein Hinweis zur Lösung: Multipliziere mit x


Leider verstehe ich nicht ganz, wie du auf den zweiten Teil kommst (und wo dort das y hin ist).

Bei der anschließenden Integration gilt dann nach deinem Ansatz: oder darf man das x auf der linken Seite nicht vor das Integral ziehen?

Ist es grundsätzlich falsch die DGL wie eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung zu lösen?

Viele Grüße
Morbz
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

x VOR das Integral zu ziehen ist falsch, denn x ist ja eine Variable (und keine Konstante)!
-------
Nach der Multiplikation mit x steht dann



Auf der linken Seite steht dann gerade die Ableitung von (xy), nach der Produktregel (!)
[x ist die unabhängige Variable, aber y ist eine Funktion von x]







Übrigens, ob die Lösung stimmt, kann leicht durch Einsetzen in die Diff.gl. überprüft werden.

mY+
Morbz Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.
Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.

Eine Frage noch.
Ist das Lösungsschema mit Substitution von nur sinnvoll, wenn z dann auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen hat und sich rauskürzt?


Viele Grüße
Morbz
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Morbz
...
Ist das Lösungsschema mit Substitution von nur sinnvoll, wenn z dann auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen hat und sich rauskürzt?
...

Nicht unbedingt. Das richtet sich nach der Angabe. Es kommt darauf an, ob NACH der Substitution eine Vereinfachung zu erkennen ist oder nicht. Das war hier offensichtlich nicht der Fall.

Deswegen kann man sich eine andere Substitution überlegen:



Diese bringt's!


-->

-->
Einsetzen in die gegeben Gleichung



Hier fallen die y weg!



Nun intergrieren und resubstituieren, wir haben das selbe Resultat!

mY+
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