Gleichungssystem mit kongruenz modulo

Neue Frage »

Muffintop2 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem mit kongruenz modulo
Meine Frage:
Heyaaa!
Ich weiß nicht ob ich hier darum bitten darf, wenn nicht bitte einfach löschen, aber kann mir jemand die folgenden beiden Gleichungssystem durchsehen und kontrollieren ob ich das richtig gemacht habe (bzw mir beim ersten helfen?)

a.

b.

Zusätzliche Fragestellung: kann man den chin. RS anwenden?

Meine Ideen:
Zur zusätzlichen Frage hab ich mir jetzt mal gesagt, dass es an sich nicht geht, da die Moduln ja nicht alle teilerfremd sind. Nach ein bissel Recherche hab ich immerhin herausgefunden, dass es da eine Erweiterung gibt und zwar kann man immer dann eine Lösung errechnen wenn gilt:

Ich zeig zuerst Bsp. b da ich dabei bis zum Ende gekommen bin:
b.
ggT (3,9,10)=1

Da ganze Zahlen die durch 1 dividiert immer den Rest 0 liefern. Dh. Es gibt eine Lösung.



Also:


M=9*10=90
M1=90/9=10
M2=90/10=9

(-1)*9+1*10
1*10+(-1)*9

x=2*10+(-9)*1=20-9=11

Und wenn ich mich jetzt bei der Probe nicht verrechnet habe dann sollte das auch mit der Angabe übereinstimmen.

Nun zu a

a.ggT (5,9,10)=1


Da ich wiederum ganze Zahlen durch 1 Teile wobei der Rest wieder 0 ist. Dh. es sollte eine Lösung geben.

Und jetzt weiß ich ehrlich gesagt nicht mehr weiter. Da kann ich ja keine Moduln unter einem kgV zusammenfassen. Rechne ich jetzt ganz einfach so weiter als wären meine Moduln teilerfremd und warte was passiert oder ...?

Ich sag schon mal jetzt danke an all jene die mir helfen wollen!
Lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung x = 11 bei b) kann ich bestätigen. Allerdings ist dies nicht die einzige, denn die Gesamtheit der Lösung sind alle Zahlen 11 mod 30.
Bei a) dürfte es keine Lösung geben. Für die Existenz der Lösung scheint die Teilerfremdheit keine hinreichende Bedingung zu sein.

Man kann solche Beispiele so rechnen, indem ein diophantisches Gleichungssystem erstellt wird:

x = 5a + 1
x = 9b + 3
x = 10c + 2
-----------------
a, b, c sind ganzzahlig

Wenn man das weiter rechnet, kommt schließlich: 5a = 10c + 1, und das ist ganzzahlig nicht lösbar.
---------

Übrigens ergibt sich mit dieser Methode bei b)

3a = 10c - 1, die kleinsten Lösungen sind a = 3, b = 1, c = 1
Im Gesamten sind beispielsweise c alle Zahlen 1 mod 3, somit hat die Gesamtlösung den modul 30

mY+
Muffintop2 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, damit ist mir sehr geholfen Freude

Darf ich nur kurz fragen wie du auf die modulo 30 kommst?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich bei c erwähnt, denn c = 1 mod 3.
Wegen x = 10c + 1 ist x = 11 mod 30

mY+
Muffintop2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Oh, eigentlich eh klar. Danke jedenfalls!
Muffintop2 Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt hab ich nochmal eine dämliche Frage... Das Weiterrechnen von
x = 5a + 1
x = 9b + 3
x = 10c + 2

Macht man doch so:
5a+1=9b+3=10c+2 |-1
5a=9b+2=10c+1

a=*
... 10c=-1+5*
c=-1/10+1/2*

Und dieses c kann man so weit ich das seh nicht mehr zur ganzen Zahl machen, hab ich das richtig verstanden?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Muffintop2
...
a=*
... 10c=-1+5*

Wenn dies heisst: ... 10c = -1 + 5a
dann stimmt es.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag zur obigen Anwendung der Lösbarkeitsbedingung:

Zitat:
Original von Muffintop2
Nun zu a

a.ggT (5,9,10)=1


Da ich wiederum ganze Zahlen durch 1 Teile wobei der Rest wieder 0 ist. Dh. es sollte eine Lösung geben.

Nein, falsch geschlossen. Du hast die Bedingung doch selbst angeführt:

Zitat:
Original von Muffintop2
und zwar kann man immer dann eine Lösung errechnen wenn gilt:

Und das muss für alle Paare gelten! Im vorliegenden Fall a) ist .

Betrachten wir nun , d.h. die beiden nicht teilerfremden Module mit , für die ja offenbar nicht gilt, wie es aber in der Bedingung gefordert wird! Damit hat das System keine Lösung.

D.h. es geht in dieser Lösbarkeitsbedingung nicht um den ggT aller Module, sondern immer nur paarweise.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »