Beweis der allgemeinen Multiplikationsformel

12.01.2015, 22:09

FranzOS42

Beweis der allgemeinen Multiplikationsformel

Meine Frage:
Hallo an alle,

Wir haben folgende aufgaben bekommen:

1)

Seien $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,A_3 \end{eqnarray*}$ reignisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion p. Zeigen Sie, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} p(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = p(A_1) \cdot p(A_2|A_1) \cdot p(A_3|A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$

Hinweis: Die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A,B ist definiert
durch $\begin{eqnarray*} p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} \end{eqnarray*}$ . Setzen Sie ausgehend hiervon zunächst
$\begin{eqnarray*} A_1 \cap A_2 = B ~ \wedge A_3 = A \end{eqnarray*}$

2) Beweisen Sie die Formel für ein allgemeines n

Meine Ideen:
Also hab ich zu 1 folgendes:

$\begin{eqnarray*} p(B \cap A) &= p(B|A) \cdot p(B) \\ &= \frac{p(B \cap A)}{p(A)} \cdot p(B) \\ &= \frac{p(A_1 \cap A_2 \cap A_3)}{p(A_3)} \cdot p(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$

Viel weiter komm ich hier leider nicht ...

Auch Probleme hab ich zu Teil 2 ich hab mir mal folgende Formel hergeleitet:

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot ... \cdot P(A_n|A_1 \cap ... \cap A_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir nicht sicher ob die FOrmel stimmt und wie soll der Induktionsbeweis überhaupt funktionieren ? Wäre für hilfe wirklich sehr dankbar sitze schon lange dran und komme einfach auf keinen Ansatz...

12.01.2015, 22:27

h4mmer

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RE: Beweis der allgemeine Multiplikationsformel
Hallo,

Du hast du schon im ersten Schritt verrechnet:

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cap A_2 \cap A_3)=P(B\cap A_3)=P(A_3|B)\cdot P(B)=P(A_3|A_1\cap A_2)\cdot P(A_1\cap A_2)=... \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlen noch ein Schritt zum Ziel.

Gruß

12.01.2015, 23:01

FranzOS42

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HI h4mmer danke für deine schnelle Antwort.

Also ich habe es mal so versucht allerdings verläuft sich das bei * in eine Sache ohne Sinn...

$\begin{eqnarray*} B = A_1 \cap A_2 \\ A = A_3 \end{eqnarray*}$
Also anfang
$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) &= P(B \cap A_3) = P(A_3|P_B) \cdot P(B) = P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot P(A_1 \cap A_2) = P(A_3 |A_1 \cap A_2) \cdot P(A_1|A_2) \cdot p(A_2) (*) \end{eqnarray*}$

12.01.2015, 23:06

FranzOS42

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Sorry für extra Post hab vorhin zu schnell geklickt.

Mir ist klar das ich noch irgendiwe die $\begin{eqnarray*} p(A_1) \end{eqnarray*}$ mit einbringen muss dafür muss ich wohl $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ umschreiben allerdings komm ich einfach nicht drauf wie.... Die Gleichung vonh4mmer ist ja schon fast das gewünschte Ergebniss nur dass eben das A noch fehlt. Wenn ich allerdings $\begin{eqnarray*} P(A_3|A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ verändere komm ich auf keinen grünen Zweig, ändere ich die andere gleichung komm ich in das Problem (*)....

unglücklich

12.01.2015, 23:19

FranzOS42

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Nochmals , sorry ...

Eine Idee hab ich kann doch aufgrund der Symmetrie von $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ schreiben $\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2) = P(A_2 \cap A_1) \end{eqnarray*}$
Daruas würde ja folgen $\begin{eqnarray*} P(A_2|A_1) = \frac{P(A_2 \cap A_1)}{P(A_1)} ~ \Rightarrow P(A_2 \cap A_1)= P(A_2|A_1) \cdot P(A_1) \end{eqnarray*}$

EIngesetzt würde folgen:

$\begin{eqnarray*} P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(B \cap A_3) = P(A_3|B) \cdot P(B) = P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot P(A_1 \cap A_2) = P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot P(A_2 \cap A_1) = P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_1) \end{eqnarray*}$

Wenn dies so stimmt verstehe ich allerdings den Hinweis $\begin{eqnarray*} A = A_3 \end{eqnarray*}$ nicht der wurde doch nirgens benutzt oder ?

Und Indutkiv ? :O Da scheitert es schon an der Basis.... Kannst du mir da evtl. auch weiterhelfen

13.01.2015, 07:08

h4mmer

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(A_2|A_1) = \frac{P(A_2 \cap A_1)}{P(A_1)} ~ \Rightarrow P(A_2 \cap A_1)= P(A_2|A_1) \cdot P(A_1) \end{eqnarray*}$

Genau, und damit bist du doch fertig.

Ob du am Anfang noch

Zitat:

den Hinweis $\begin{eqnarray*} A = A_3 \end{eqnarray*}$

benutzt, also $\begin{eqnarray*} B\cap A_3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} B\cap A \end{eqnarray*}$ ersetzt und dann wieder zurück gehst, bleibt dir überlassen.

Zu 2)
Wie könnte denn die gesuchte Formel für ein beliebiges n aussehen?

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n)=...=\prod_{k=1}^nP(***|\bigcap_{i=1}^{n-1}***) \end{eqnarray*}$

Die Sterne musst du geeignet ersetzen (und natürlich den Rechenweg hinschreiben, fürs Verständnis).

Die Induktion ist dann wirklich einfach, denn Induktionsanfang hast du ja bereits (für n=3) gezeigt.
Dann ist das ein Einzeiler.

Ich bin vorraussichtlich erst heute Abend wieder da, wenn also jemand weitermachen will, gerne Augenzwinkern

13.01.2015, 14:38

FranzOS42

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Also ich hab jetzt die * ausgefüllt und vermute in deiner Schreibweise einen Tippfehler (bei dem Durchschnitt statt n ein k)
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k = 1}^{n} ~ P(A_{k} | \bigcap\limits_{i = 1}^{k-1} A_{i}) \end{eqnarray*}$
Jetzt folgt der Indutkionsbeweis, die Basis ist ja klar also gilt am Anfang n = 3..
Die Annahme wäre dann
$\begin{eqnarray*} \exists n P(A_1 \cap ... \cap A_n) = \prod\limits_{k=1}^{n} P(A_k|\bigcap\limits_{i=1}^{k-1}A_i) \end{eqnarray*}$
Daraus folgt jetzt der Schritt
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n + 1} P(A_k|\bigcap\limits_{i=1}^{k-1}A_i) &= (\prod\limits_{k=1}^{n} P(A_k|\bigcap\limits_{i=1}^{k-1}A_i) ) \cdot P(A_{n+1}|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i) \\ &=^{\text{I.V}} P(\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_n) \cdot P(A_{n+1}|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i) (*) \end{eqnarray*}$

Ist das bei (*) der Beweis jetzt abgeschlossen ? Eigentlich fand hier doch nur Termumformung statt oder ? und dass ich die $\begin{eqnarray*} P(\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_n) \cdot P(A_{n+1}|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i) \Rightarrow P(\bigcap\limits_{i=1}^{n+1} A_i) \end{eqnarray*}$ jetzt reinschreiben kann also muss doch erst noch bewies werden oder etwa nicht ?

13.01.2015, 14:59

h4mmer

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Hi,

Zitat:

und vermute in deiner Schreibweise einen Tippfehler

Ja, das war mein Fehler, bitte entschuldige.

Das stimmt schon was du machst!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n + 1} P(A_k|\bigcap\limits_{i=1}^{k-1}A_i) &= (\prod\limits_{k=1}^{n} P(A_k|\bigcap\limits_{i=1}^{k-1}A_i) ) \cdot P(A_{n+1}|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i) \\ &=^{\text{I.V}} P(\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_n) \cdot P(A_{n+1}|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_n)\cdot \frac {P(\bigcap\limits_{i=1}^{n+1}A_i)}{P(\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_n)}=P(\bigcap\limits_{i=1}^{n+1}A_i) \end{eqnarray*}$

Zitat:

und dass ich die $\begin{eqnarray*} P(\bigcap\limits_{i=1}^{n} A_n) \cdot P(A_{n+1}|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i) \Rightarrow P(\bigcap\limits_{i=1}^{n+1} A_i) \end{eqnarray*}$ jetzt reinschreiben kann also muss doch erst noch bewies werden oder etwa nicht ?

Naja, das ist doch dasselbe wie in Aufgabenteil 1) mit $\begin{eqnarray*} A:=\bigcap_{i=1}^nA_i \, \text {und}\, B:=A_{n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Eigentlich fand hier doch nur Termumformung statt oder ?

Was willst du denn sonst machen bei der Inuktion? smile

13.01.2015, 17:14

FranzOS42

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Ja auf den Trick mit nochmals einsetzen bin ich nicht gekommen. Vielen Dank

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