Bestimmen von Untervektoren

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13.01.2015, 12:31	h.lars	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen von Untervektoren Meine Frage: Ich muss für meine Abgabe bestimmen ob folgende Mengen Untervektorräme von \|R²beziehungsweise \|R³ sind. U1={(x,y)\|x+y=0}Teilmenge von \|R² U2={(x,y)\|x+y=1}Teilmenge von \|R² U3={(x,y)\|x^4+y^4=0}Teilmenge von \|R² U4={(x,y)\|x^4-y^4=0}Teilmenge von \|R² U5={(x,y)\|x=0 oder y=0}Teilmenge von \|R² U6={(x+y,y²)\|x,y element \|R}Teilmenge von \|R² U1={(x,y,z)\|x=y=3z}Teilmenge von \|R³ Meine Ideen: Da muss ich ja die drei Vorraussetzungen für Untervektoren beweisen, jedoch weiß ich nicht, wie genau ich das machen soll.
13.01.2015, 12:44	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lauten denn diese drei Voraussetzungen, die du überprüfen willst? Was muss erfüllt sein, damit es sich um einen Untervektorraum handelt? Zumindest eine der Bedingungen solltest du leicht überprüfen können.
13.01.2015, 12:54	h.lars	Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Bedingung ist ja das der UVR 0 enthält zweite ist das u,u´ element U addierbar sind bzw. u+u´ element U ist dritte ist das überprüfen der skallaren Multiplikation. Erste ist kein Problem zu überprüfen bei der zweiten und dritten Bedingung weiß ich nicht wie genau ich die überprüfen soll bzw das aufschreiben soll, da ich das zuvor nie gemacht habe.
13.01.2015, 13:01	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann fang doch einmal mit der ersten Bedingung an, eventuell fallen dann schon ein paar Mengen raus. Danach: seien $\begin{eqnarray} (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathcal U_i \end{eqnarray}$ (fang mit einer Menge deiner Wahl an), was kannst du dann über die vorkommenden $\begin{eqnarray} x_1,x_2,y_1,y_2 \end{eqnarray}$ sagen, in welcher Beziehung stehen die zueinander? Wie sieht die Summe dieser beiden Vektoren aus? Erfüllt dieser Vektor die angegebenen Bedingungen, um in der Menge enthalten zu sein?
13.01.2015, 13:32	h.lars	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte ich bei der ersten dann schreiben: U1={(x,y)\|x+y=0}Teilmenge von \|R² (UV1) x=0,y=0 => 0+0=0 => 0 element U1 (UV2) U1´={(x,y)\|x´+y´=0} teilmenge von \|R² U1´´=U1+U1´=(x+x´,y+y´) => x+x´+y+y´=0 => x,x´,y,y´Element U1 (UV3) U1´´´=a(x,y),a element \|R mit x+y=0 => ax+ay=0 => U1 ist UVR von \|R²
13.01.2015, 13:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst das richtige zu meinen, allerdings schmeißt du da mit Vektoren, Mengen und Gleichungen um dich, das solltest du formal noch einmal überarbeiten. Unterraumkriterien: $\begin{eqnarray} 0\in \mathcal U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1,v_2\in\mathcal U \Rightarrow v_1+v_2\in\mathcal U \end{eqnarray}$ (hier steht $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ für einen Vektor, d.h. bei der ersten Menge wäre das dann $\begin{eqnarray} v_1=(x_1,y_1) \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} v\in\mathcal U,a\in\mathbb R\Rightarrow a\cdot v\in \mathcal U \end{eqnarray}$ Diese Folgerungen solltest du sauber formulieren und entsprechend aufschreiben.
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13.01.2015, 13:43	h.lars	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja stimmt danke
13.01.2015, 13:57	h.lars	Auf diesen Beitrag antworten »
U1={(x,y)\|x+y=0}teilmenge \|R² (UV1) x=0,y=0 =>0+0=0 =>0 element U1 (UV2) v1=(x1,y1) mit x1+x2=0 v2=(x2,y2) mit x2+y2=0 v1+v2=(x1+x2,y1+y2) =>x1+x2+y1+y2=0 =>v1+v2 element U1 (UV3) v3= a(x,y),a element \|R mit x+y=0 => ax+ay=0 => U1 ist UVR von \|R² (v1,x1 und so soll index 1 sein) Das müsste ich dann so schreiben oder?
13.01.2015, 14:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so sieht das besser aus. Bei den anderen Mengen kannst du auch so vorgehen.
13.01.2015, 14:21	h.lars	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie mache ich das denn z.B. bei U6 da habe ich ja keine Funktion die ich überprüfen kann
13.01.2015, 14:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da solltest du dir einmal die genaue Form ansehen, wie ein Element der Menge aussehen muss.

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