Lösungsmenge Matrix

13.01.2015, 19:56

hilfloser_drops

Lösungsmenge Matrix

Meine Frage:
Hallo,
bei folgender Aufgabenstellung komme ich nicht weiter:

Frage: Bestimmen Sie die Lösungsmenge Ax = b in Abhängigkeit der Variablen g und h.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2g-6 & 0 \\ 7 & g-3 & -4h-4 \\ -2 & 0 & 2h+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} 8 \\ 26-4h \\ 2h-6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich komme durch Umformungen an den Punkt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2g-6 & 0 & 8 \\ 0 & 13g-39 & 4h+4 & 30+4h \\ 0 & 0 & -10gh+30h-140g+420 & -166gh+120g+30h+108 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendwie sieht das für mich total falsch aus. Ich wollte erreichen, dass in der letzten Zeile 2x 0 steht und eben ein Variable ungleich 0. Dann wollte ich eine Fallunterscheidung machen, wann es garkeine Lösung gibt, wann unendlich viele usw. unglücklich

14.01.2015, 09:29

klarsoweit

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RE: Lösungsmenge Matrix
Mir ist nicht klar, mit welcher Umformung du zu der 3. Zeile gekommen bist.

14.01.2015, 16:12

snapdragon1987

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Hallo,

ich habe folgendes gemacht (Gauß-Eliminationsverfahren):

1. Schritt: I*7 - II (damit wird die 7 zur 0)
2. Schritt: I*2 + III (damit wird die -2 zur 0)
3. Schritt: II*(4g-12)-III*(13g-39) (damit bekomme ich eine zweite Null in der dritten Zeile)

und genau hier habe ich jetzt 2 Probleme:

1. Für mich sieht die letzte Zeile "falsch" aus. Also von den Zahlen her.

2. Wie soll ich eine Fallunterscheidung mit 2 Variablen machen?

15.01.2015, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von snapdragon1987
3. Schritt: II*(4g-12)-III*(13g-39) (damit bekomme ich eine zweite Null in der dritten Zeile)

Da hast du zu einer ungünstigen Umformung gegriffen. Besser: in der 3. Zeile III*13 - II*4 rechnen. Augenzwinkern

15.01.2015, 10:32

snapdragon1987

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Hallo Klarsoweit,

tatsächlich... Ich habe nochmal neu gerechnet und komme jetzt auf ein schöneres Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2g-6 & 0 & 8 \\ 0 & g-3 & 3h+3 & 5+3h\\ 0 & 0 & 5h+5 & 5h+5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => z = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \frac{2}{g-3} => g /= +3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 8 - \frac{4g-12}{g-3} \end{eqnarray*}$

Das müsste dann eine eindeutige Lösung sein oder?

15.01.2015, 10:46

klarsoweit

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Nun ja, das mit der eindeutigen Lösung funktioniert nur, wenn du vollen Rang hast. Der Rang wird ja nun auch durch die Werte für g und h beeinflußt. Das heißt, du mußt entsprechende Fallunterscheidungen durchführen.

15.01.2015, 15:52

snapdragon1987

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Kannst du mir hier sagen, wie die Fallunterscheidung aussehen muss?

16.01.2015, 08:53

klarsoweit

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Wo ist das Problem? Du mußt doch nur ein paar simple Fragen klären, z.B.:
Kann die letzte Zeile zur Nullzeile werden und wenn ja, wann?

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