Maximalvolumen, Materialverbrauch

13.01.2015, 22:01

snick3rs

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Maximalvolumen, Materialverbrauch

Meine Frage:
Hi,
war über einen längeren Zeitraum in Krank und habe mega viel verpasst. Ich war zwar noch nie ein guter Schüler. Ich kann nicht einmal wirklich mathe... aber man kann ja wenigstens sein bestes versuchen.

Hier mal die Aufgaben:
1
a)
Ermittel die Funktionsgleichung für die Oberfläche O in Abhängigkeit om Radius (r) und gebe den Definitionsbereich an

b)
Zeichne den Graphen und lese ab, bei belchem Radius r am wenigsten Material verbraucht wird

c)
Berechne den minimalen Materialverbrauch!

Aufgabe 2.
Ein Blech hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Der Umfang des Bleches beträgt 350mm betragen.

Wie sind die Maße des Rechtecks zu wählen damit due Quesrschnittsfläche maximal wird?

Meine Ideen:
Also wie man die Grundfläche, Oberfläche, Volumen und Mantelfläche berechnet ist ja ziemlich einfach... aber ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Aufgaben hier machen soll. Lehrer fragen kann ich momentan nicht und die Mitschüler sind alles andere als hilfreich.
Wenn mich hier jemand auf den richtigen Weg bringen könnte, oder mir den Lösungsweg zeigt o.ä. dann wäre das ziemlich awesome... bin da für alles offen (gehe aber bald schlafen)

13.01.2015, 22:08

Bjoern1982

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Hallo snick3rs und willkommen im Matheboard

Willkommen

Das sind so genannte Extremwertaufgaben.
Bei solchen Aufgabentypen muss man in der Regel eine Hauptbedingung, eine Nebenbedingung und eine Zielfunktion inklusive Definitionsbereich aufstellen.

Für deine 1. Aufgabe müssten wir zunächst mal klären, um welchen Körper es hier gehen soll.
Geht es um die Oberfläche eines Zylinders oder eines Kegels oder Kugel oder... ?

13.01.2015, 22:54

snick3rs

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Hi!
Danke für die schnelle Antwort! Gott

Gott

habe folgenden Text vergessen:
eine nach oben offene zylindrische Dose mit dem Radius r soll 10L Flüssigkeit aufnehmen.

13.01.2015, 23:17

Bjoern1982

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Alles klar, dann will ich dir zunächst mal die folgenden Leitfragen ans Herz legen:

1) Wie lautet die Oberflächenformel für einen Zylinder ohne Deckel (das wäre dann schon die Hauptbedingung HB) ?

2) Welche Gleichung könnte man mit dem gegebenen Volumen von 10L bzw 10 dm³ aufstellen und was erhältst du, wenn du sie nach h auflöst (das wäre dann die Nebenbedingung NB) ?

3) Setze die NB in die HB ein, damit hast dann deine den Oberflächeninhalt angebende Zielfunktion in Abhängigkeit von r.

Erst mal bis dahin. Du kannst dir ja mal Gedanken darüber machen und deine Ergebnisse dann posten. Freude

Freude

13.01.2015, 23:24

snick3rs

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okay danke,
muss nun aber schlafen sonst bin ich morgen nicht zu gebrauchen!
melde mich dann morgen mittag

13.01.2015, 23:26

Bjoern1982

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Kein Problem, dann gute Nacht und bis morgen. Wink

Wink

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14.01.2015, 16:41

snick3rs

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So ich versuche mich dann mal an den Aufgaben... außerdem hoffe ich das ich das Zeug NIEMALS wieder brauchen werde

1) Wie lautet die Oberflächenformel für einen Zylinder ohne Deckel (das wäre dann schon die Hauptbedingung HB) ?

Die Normale Formel für die Oberflächenformel ist doch >> 2 * Grundfläche + Mantelfläche <<
Ohne Deckel müssten da ja quasi nur einmal die Grundfläche sein oder ?

2) Welche Gleichung könnte man mit dem gegebenen Volumen von 10L bzw 10 dm³ aufstellen und was erhältst du, wenn du sie nach h auflöst (das wäre dann die Nebenbedingung NB) ?

Volumen = 10 L bzw 10 dm³
G = Pi * Radius²

v = G * h
v = Pi * Radius² * h

PI muss weg vom radius
v = Pi * Radius² * h | : Pi
v/Pi = Radius² * h | : r²
v/(PI * Radius²) = h

was ich jetzt erhalte leuchtet mir jedoch nicht ein

3) Setze die NB in die HB ein, damit hast dann deine den Oberflächeninhalt angebende Zielfunktion in Abhängigkeit von r.

Grundfläche + Mantelfläche (bei der dann halt h = V / (PI *r²) ist)

ist das soweit richtig ?

14.01.2015, 19:20

Bjoern1982

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Das hört sich doch schon mal ganz gut an, ich fasse nochmal zusammen:

1) Wir haben also mit $\begin{eqnarray*} O(r,h)=r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h \end{eqnarray*}$ eine Gleichung für die zu betrachtende Oberfläche, wobei der Term rechts noch von zwei Unbekannten, nämlich von r und h, abhängt. An dieser Stelle können wir noch nicht das Minimum bestimmen, weil unsere Formel ja nur von einer Unbekannten abhängen soll (hier vom Radius r). Um das Ausdrücken durch nur genau eine Unbekannte zu schaffen, benötigen wir daher noch eine weitere Bedingung (Gleichung).

2) Mit V=10 erhalten wir demnach $\begin{eqnarray*} h=\frac{10}{\pi \cdot r^2} \end{eqnarray*}$

3) HB in NB eingesetzt führt zu $\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot \frac{10}{\pi \cdot r^2}=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du dir weiterhin Gedanken darüber machen, welche Werte man hier für r einsetzen darf (Definitionsbereich) und dann wäre es gut, wenn du z.B. mit Hilfer einer Wertetabelle den Graphen zur Funktion O(r) zeichnest.

Bekommst du das hin und weißt du, wie es danach weitergehen könnte ?

14.01.2015, 19:47

snick3rs

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werde darüber ein bisschen nachdenken.
auf anhieb nicht... vielleicht kommt ja noch ein geistesblitz

14.01.2015, 20:06

Bjoern1982

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Wobei genau hängst du denn ?
Beim Definitionsbereich für r ? Denk da gar nicht so kompliziert, sondern einfach in Richtung positive und negative Werte, also welche davon für einen Radius nur sinnvoll sind.

Wie man eine Wertetabelle aufstellt weißt du also nicht ?

14.01.2015, 20:29

snick3rs

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kann ich $\begin{eqnarray*} O(r,h)=r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h \end{eqnarray*}$ = 0 setzen und nach r auflösen ?

das r müsste ich ja dann in $\begin{eqnarray*} h=\frac{10}{\pi \cdot r^2} \end{eqnarray*}$ einsetzen können

Nachdem HB in NB eingesetzt wurde muss ich das nur noch lösen ?
weiter komme ich im moment niocht

EDIT:
wertetabelle sagt mir was... bekomm da aber ein mulmiges gefühl

14.01.2015, 21:25

Bjoern1982

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Zitat:

kann ich $\begin{eqnarray*} O(r,h)=r^2 \cdot \pi + 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h \end{eqnarray*}$ = 0 setzen und nach r auflösen ?

Um Nullstellen geht es hier nicht und ich habe die Arbeit mit dem Einsetzen der NB in die HB ja schon übernommen und umgeformt, die so genannte von r abhängige Zielfunktion ist jetzt eben $\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$

Nun nochmal direkt gefragt:
Machen positive Zahlen für r Sinn ?
Machen negative Zahlen für r Sinn ?

Um eine Wertetabelle aufzustellen, musst du jetzt einfach ein paar Werte für r in den Funktionsterm einsetzen.
Mach das doch mal mit 0,5 und 1 und 1,5 und 2 und 2,5 und 3 und 3,5 und 4.
Das sollte eigentlich schon genügen.
Überlege dir auch noch, warum man r=0 nicht einsetzen sollte/darf.

14.01.2015, 21:42

snick3rs

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R sollte nicht 0 sein weil ein Radius von 0 nicht funktioniert.
Positive Zahlen machen für mich sinn... negative Zahlen eher weniger, da ich mir im moment nicht vorstellen kann wie das aussieht (außer ich sehe das ganze jetzt total falsch)

$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 40,758 (0,5)
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 23,1415 (1,0)
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 20,401 (1,5)
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 22,566 (2,0)
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 27,6349 (2,5)
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 34,9410 (3)
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 44,1987 (3,5)
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ = 55,2654 (4)

Im Taschenrechner so eingetippt:
r² * PI + (20 / r)

hoffe mal das ist richtig so

14.01.2015, 23:14

Bjoern1982

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Ist alles richtig, was du schreibst.
Nur bei der Schreibweise, wenn du eine Zahl für r einsetzt, gibt es noch Verbesserungsbedarf:

$\begin{eqnarray*} O(0.5)=0.5^2 \cdot \pi +\frac{20}{0.5}=40.758 \end{eqnarray*}$

Das brauchst du allerdings nicht 8 mal so ausführlich aufzuschreiben.
Es genügt das direkt in eine entsprechende Wertetabelle zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline r & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 \\ \hline O(r) & 40,76 & 23,14 & 20,4 & 22,57 & 27,63 & 34,94 & 44,2 & 55,27 \\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Den entsprechenden Graphen dazu werde ich dann auch mal plotten.

Bei welchem Wert für den Radius r würdest du denn jetzt anhand des Graphen oder der Wertetabelle vermuten, dass der minimale Materialverbrauch vorliegt und wie groß ist er ?
Wenn du das nun graphisch bestimmt hast, musst du danach dann auch noch rechnerisch das Minimum (Tiefpunkt) bestimmen.

14.01.2015, 23:50

snick3rs

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Denke mal das der Materialverbrauch am niedrigsten ist, wo die Kurve ihren Tiefpunkt hat.
Also (1,5|20,4)
wenn ich ablesen müsste, dann würde ich sagen (1,5|20)
Aber ist das denn nicht schon der Tiefpunkt ?

15.01.2015, 00:00

Bjoern1982

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Ja, das wäre zumindest näherungsweise wohl der Tiefpunkt und damit die Lösung für Aufgabe 1b).
Bei 1c musst du das dann eben noch rechnerisch untermauern.
Weißt du wie man rechnerisch einen Tiefpunkt nachweist (notwendige und hinreichende Bedingung für Extrempunkte) ?

15.01.2015, 00:29

snick3rs

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hab jetzt etwas überlegt... komme nicht drauf.

Denke die ganze Zeit an folgendes:
Müsste ich nicht die 1,5² * pi + (20/1,5) nehmen und ableiten und = 0 setzen ?
Eigentlich hatten wir dann immer noch ein "x" zu dem wir aufgelöst haben... was mich hier etwas verunsichert.
Soll ich vielleicht die pq formel... aber würde man da nicht auch was mit nullstellen machen? Aber die soll es ja hier nicht geben wenn ich das richtig verstanden habe

15.01.2015, 00:33

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion müsstest du jetzt zunächst zweimal ableiten (also keine Zahlen für r einsetzen).
Statt x steht da jetzt eben ein r, sonst bleibt alles beim Alten.
Danach die 1. Ableitung gleich null setzen usw.

15.01.2015, 00:58

snick3rs

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hmmm okay
O (r) = r² * pi + 20 / r
o' (r) = 2r * pi + 20
o''(r) = r * pi + 20 (vermute hier aber irgendwie trotzdem das 2r dort stehen müsste anstatt r und dafür halt die + 20 weg kommt)

Wenn ich jetzt 2r * pi + 20 schreibe weis ich aber ab hier nicht mehr weiter
würde es zu 2r * 3.141 + 20 umschreiben und dann halt:
2r * 3.141 + 20 = 0 dann /2 um nur noch 1r zu haben:
r * 1,57 + 20 = 0 | - 20
r * 1,57 = - 20 | / 1,57
r/1,57 = - 12,73

aber da das jetzt schon so eigenartig ausschaut... hab ich da garantiert irgndwas falsch gemacht

15.01.2015, 01:01

Bjoern1982

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 20 \cdot r \end{eqnarray*}$ ist 20, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{20}{r} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht.
Dafür brauchst du viel mehr die Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{20}{r}=20 \cdot r^{-1} \end{eqnarray*}$

Ebenso ist die Ableitung von 2pi*r nicht r*pi.

15.01.2015, 01:14

snick3rs

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dann weis ich im moment nicht weiter

15.01.2015, 01:42

snick3rs

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melde mich mittags nochmal
bin jetzt schlafen,
gute nacht!

15.01.2015, 11:24

Bjoern1982

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Um $\begin{eqnarray*} 20 \cdot r^{-1} \end{eqnarray*}$ abzuleiten gilt dieselbe Regel (Potenzregel) wie auch bei sowas wie 4x³, nur dass du hier einen negativen Exponenten hast.
Bei $\begin{eqnarray*} 2 \cdot r \cdot \pi \end{eqnarray*}$ musst du dir nur vor Augen führen, dass $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \pi \end{eqnarray*}$ im Endeffekt nur eine Konstante ist.
Du könntest es also auch zu $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \pi \cdot r \end{eqnarray*}$ umschreiben und das dann genau so ableiten, als würde da z.B. 4r stehen.

15.01.2015, 18:08

snick3rs

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Hi... sorry das ich mich so spät erst melde... war heut unterwegs.
Bin aber auch nicht weiter gekommen.
wieso muss ich das überhaupt rechnerisch machen ?

EDIT:
wenn mir gleich was einfällt melde ich mich sofort!
Edit2:
glaube nämlich das ich das mal gemacht habe

15.01.2015, 20:55

Bjoern1982

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Zitat:

wieso muss ich das überhaupt rechnerisch machen ?

Da gibt es so einige Gründe:

1. Weil es die Aufgabe 1c) eben so will.
2. Weil die Wertetabelle oder der Graph bestenfalls ungefähr wiederspiegelt, wo der Tiefpunkt ist. Es ist ja durchaus möglich, dass der Tiefpunkt z.B. in x=1,45 oder x=1,55 liegt, denn soooo genau kann man das jetzt auch nicht ablesen. Deshalb macht es durchaus Sinn, das ganze auch mal exakt zu berechnen.
3. Die komplette Aufgabe ist bewusst in eine graphische (qualitative) und rechnerische (quantitative) Herangehensweise unterteilt, wobei man die entsprechenden Resultate am Ende dann vergleichen kann.

Zum weiteren Verlauf musst du mir dann mal schildern womit genau bzw an welchen Stellen genau du jetzt Probleme hast.
Wenn es beim Ableiten hapert, dann müsstest du vorher vielleicht noch ein bisschen Ableitungen üben, bevor du dich an solche komplexeren Aufgaben wagst.
Ich habe jetzt auch schon sehr viele Hinweise gegeben und sehr viel vorgekaut, von daher weiß ich ohne eine genauere Wasserstandsmeldung von dir gar nicht mehr, was ich noch schreiben könnte, ohne mich zu wiederholen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2015, 21:17

snick3rs

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Zitat:

Zum weiteren Verlauf musst du mir dann mal schildern womit genau bzw an welchen Stellen genau du jetzt Probleme hast.
Wenn es beim Ableiten hapert, dann müsstest du vorher vielleicht noch ein bisschen Ableitungen üben, bevor du dich an solche komplexeren Aufgaben wagst.
Ich habe jetzt auch schon sehr viele Hinweise gegeben und sehr viel vorgekaut, von daher weiß ich ohne eine genauere Wasserstandsmeldung von dir gar nicht mehr, was ich noch schreiben könnte, ohne mich zu wiederholen. Augenzwinkern

Also aufgabe 1a und b... das war echt gut. hab das auch kapiert.
aber bei C soll ich 2 mal ableiten
$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$

r² * pi + 20/r
r ist ja = 1,5 und pi ist auch nur ne zahl...
wenn ich ablite muss ich aus r² ja 2 * r ...
2r * pi + (was wird dann aus 20/r) ... also einfach weglassen kann ich anscheinend nicht da es geteilt ist.
wie wäre es mit:
2r * pi + 20 * r (mir fällt gerade auf das das unten steht... hoffe mal das ist hier gerade auch richtig eingesetzt)
danach ... ähm keine ahnung. vielleicht:
2r * pi + 20 und einfach hinten das r weg lassen ? ... stehe auf dem schlauch. Trotzdem ein dickes Danke das du dir so viel Zeit nimmst für mich

15.01.2015, 21:32

Bjoern1982

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Sehr gut, dass du mir deine Gedanken etwas genauer schilderst.
Damit kann ich dann auch mehr anfangen. Freude

Freude

Zitat:

r ist ja = 1,5

r ist hier nur r, da wird nichts eingesetzt.

Zitat:

(was wird dann aus 20/r) ... also einfach weglassen kann ich anscheinend nicht da es geteilt ist.

Mit dem "geteilt" hat das nichts zu tun.
Wegfallen tun beim Ableiten nur KONSTANTE Summanden, also Zahlen OHNE r.
Hier haben wir ja bei 20/r durchaus ein r im Spiel (wie gesagt da wird nicht 1,5 oder sonst was eingesetzt) und demnach fällt da beim Ableiten auch nichts weg.
Viel mehr leitet man das nach derselben Regel ab, die du auch bei deinem r² benutzt hast.
Jedoch muss man - wie gesagt - das r zunächst noch aus dem Nenner wegkriegen - und das funktioniert eben so:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{20}{r}=20 \cdot r^{-1} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt keine Ableitung, sondern lediglich eine andere Schreibweise für 20/r (Potenzgesetz), welche wir brauchen, um die normale Ableitungsregel für Potenzen (die du ja schon bei r² benutzt hast) anwenden zu könnnen.
Wir haben jetzt also einen negativen Exponenten am Start, die Regel bleibt aber dieselbe.

Wie könnte nun also die Ableitung für den Summanden $\begin{eqnarray*} 20 \cdot r^{-1} \end{eqnarray*}$ lauten ?

15.01.2015, 21:50

snick3rs

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$\begin{eqnarray*} O(r)=r^2 \cdot \pi +\frac{20}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{20}{r}=20 \cdot r^{-1} \end{eqnarray*}$

r² * pi + 20/r das wird dann also zu r² * pi + 20 * r ^-1... wird dann aus r^-1 --> -r ?
2r * pi + 20 * -r ?

15.01.2015, 21:52

Bjoern1982

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Zitat:

wird dann aus r^-1 --> -r ?

Begründe diesen Gedanken bitte einmal.
Formuliere also in Worten, wie du darauf gekommen bist.

15.01.2015, 21:57

snick3rs

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r^-1 --> -r
rechnet man dann nicht -1 * r ?
und - * + ist halt -

15.01.2015, 21:59

Bjoern1982

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Mit anderen Worten ziehst du die -1 aus dem Exponenten als Faktor vor das r, verstehe ich das richtig ?
Falls ja, fehlt da denn nicht noch etwas ?
Wie würdest du x³ ableiten ?

15.01.2015, 22:03

snick3rs

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3x²

15.01.2015, 22:05

Bjoern1982

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Ganz genau, aber da hast du ja mehr getan, als nur die 3 aus dem Exponenten nach vorne zu holen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was nämlich ?

15.01.2015, 22:09

snick3rs

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der exponent wird um 1 verringert

15.01.2015, 22:10

Bjoern1982

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Richtig, das musst du bei deinem $\begin{eqnarray*} r^{-1} \end{eqnarray*}$ nämlich auch noch tun.

15.01.2015, 22:12

snick3rs

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r ^-2 ?

15.01.2015, 22:16

Bjoern1982

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Aha, genau so.

Damit haben wir also:

$\begin{eqnarray*} O'(r)=2 \cdot \pi \cdot r +20 \cdot (-r^{-2}) \end{eqnarray*}$

oder umgeformt damit dann

$\begin{eqnarray*} O'(r)=2 \cdot \pi \cdot r -\frac{20}{r^{2}} \end{eqnarray*}$

Ist dir diese Umformung klar ?

15.01.2015, 22:26

snick3rs

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jetzt ja
also 2 * x * y ist so viel wie 2 *y *x quasi
und wenn die potenz negativ ist wird trotzdem um einen nach unten gerechnet

15.01.2015, 22:29

Bjoern1982

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Ich meinte ob dir die Umformung von $\begin{eqnarray*} +20 \cdot (-r^{-2}) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -\frac{20}{r^{2}} \end{eqnarray*}$ klar ist, also dass da jetzt auf einmal ein Bruch steht.

15.01.2015, 22:42

snick3rs

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achso
das ja

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