Lineare Unabhängigkeit (Abhängigkeit) von Vektoren

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ReSv Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit (Abhängigkeit) von Vektoren
Habe hier folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass Jeweils drei der folgenden sechs Vektroren in linear unabhängig sind, also für alle die Vektroen
und linear unabhängig sind.





Begründen Sie, warum je vier dieser Vektoren linear abhängig sind.

Frage:
Wie bekommich am schnellsten die lineare unabhängigkeit bzw. die lineare abhängigkeit heraus!

Ansatz:
1. Ich könnte die Determinantenwert ausrechen aber da muss ich ja zu viele Schritte rechnen.
2. Eine Matrix erstellen, auf Zeilen-Stufen-Form bringen und die Vektoren die keine Stufe haben (freie), als linear unabhängig betrachen.... bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das tun kann! Lehrer
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Schon mal Danke für die Antworen smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest der zweite Teil ist ja wohl ohne jede Rechnung zu erledigen: Welche Dimension hat denn der Vektorraum (oder wie du ihn nennst ) ? Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare unabhängigkeit (abhängigkeit) von Vektoren
Zitat:
Original von ReSv
2. Eine Matrix erstellen, auf Zeilen-Stufen-Form bringen und die Vektoren die keine Stufe haben (freie), als linear unabhängig betrachen.... bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das tun kann! Lehrer

Das ist im Normalfall die bessere Wahl. Allerdings verstehe ich nicht so ganz, was du mit "die Vektoren die keine Stufe haben (freie), als linear unabhängig betrachen". meinst.

Prinzipiell habe ich diese Regeln:
- Entstehen keine Nullzeilen, so sind die Vektoren linear unabhängig.
- Entsteht eine Nullzeile, so ist der betreffende Vektor durch die anderen Vektoren linear kombinierbar.
ReSv Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL 9000
In der dritte Dimension. Woran erkennst du das vier linear abhängig sind??

@klarsoweit

ich hab mich da etwas falsch ausgedrückt!

ich meinte, dass bei einer Matrix
Bsp.




die letzte Zeile linear abhängig ist und die anderen drei linear unabhängig! Habe es ober verwechselt...

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klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ReSv
In der dritte Dimension. Woran erkennst du das vier linear abhängig sind??

Wenn du vier linear unabhängige Vektoren finden würdest, welche Dimension müßte der Vektorraum mindestens haben?
ReSv Auf diesen Beitrag antworten »

Hm bin mir nicht ganz sicher.... 4. weil sie senkrecht aufeinander stehen? verwirrt
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht weil sie senkrecht aufeinander stehen (davon war auch nirgends die Rede), sondern weil sie linear unabhängig sind. Allerdings: welche Dimension hat aber nun dein Vektorraum ?
ReSv Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Gute Frage unglücklich ich denke mal in der 3. Dimension.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, du magst von mir aus in der 3. Dimension denken, aber mathematisch gesehen ist die Dimension 3. Kannst du nun in einem derartigen Vektorraum vier linear unabhängige Vektoren antreffen?
ReSv Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich in der 4. Dimension vier linear unabhängige Vektoren finden kann, muss es wohl in der 3. Dimension drei Vektoren sein!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt nicht die Antwort auf die Frage. Ich wiederhole diese: Kannst du in einem Vektorraum mit der Dimension 3 vier linear unabhängige Vektoren antreffen?

Und nochmal ein Hinweis zur mathematischen Sprache: man ist nicht in der 3. oder 4. Dimension, sondern ein Vektorraum hat eine bestimmte Dimension.
ReSv Auf diesen Beitrag antworten »

nein, weil mindestens zwei linear abhängig sind!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort "nein" ist ok. Ansonsten sind jedoch alle vier linear abhängig, nicht nur 2.
ReSv Auf diesen Beitrag antworten »

ok und welche vier sind jetzt bei der Aufgabe linear abhängig?
bzw. wie begründe ich dies?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ReSv
ok und welche vier sind jetzt bei der Aufgabe linear abhängig?

Diese Frage zeigt, dass trotz langer Diskussion mit klarsoweit bei dir nicht wirklich was hängengeblieben ist. unglücklich

Nochmal mit etwas anderen Worten: Die Dimension eines Vektorraums kennzeichnet u.a. auch die Maximalanzahl an linear unabhängigen Vektoren. D.h., jede beliebige Menge von Vektoren, deren Mächtigkeit die Dimension des Vektorraums übersteigt, muss linear abhängig sein!

Jetzt solltest du deine seltsame Frage "welche vier sind linear abhängig" selbst beantworten können.
ReSv Auf diesen Beitrag antworten »

ok also sind vier belibige Vektoren linear abhängig, weil wir es im Vektorraum mit der 3. Dimension betrachten!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort ist sachlich richtig, aber die Wortwahl (trotz meiner deutlichen Hinweise) ist nach wie vor unpassend. Es gibt keinen Vektorraum mit der 3. Dimension, sondern allenfalls einen Vektorraum mit der Dimension 3 . Lehrer
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