Frage zu Abgeschlossenheit

14.01.2015, 14:54

balance

Frage zu Abgeschlossenheit

$\begin{eqnarray*} X_4 \subset \mathbb{R} = \{x \in \mathbb{Q} | x^2\leq 2\} \end{eqnarray*}$

X4 ist nicht offen. $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sind keine inneren Punkte. Da kein Intervall existiert weclhes vollkommen in X4 enthalten ist.

X4 ist nicht abgeschlossen, da es nicht alle seine Häufungspunkte enthält. So ist zum Beispiel pi ein Häufungspunkt von X4 weil ein beliebig kleines Intervall (pi-eps, pi+eps) immer eine Zahl enthält welche auch in X4 ist.

Ich denke, das ist okay. Meine Frage ist nun, ob folgende Aussage zur Abgeschlossenheit stimmt:

"X4 ist nicht abgeschlossen: Alle Punkte im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ sind Häufungsunkte von X4., weil jedes Intervall der Form (x-eps, x+ eps) mit $\begin{eqnarray*} x \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ Elemente aus X4 enthält, welche verschieden von x sind. Somit enthält X4 nicht alle seine Häufungspunkte. Folglich ist X4 nicht abgeschlossen."

Irgendwie blick ich nicht so durch bei dieser Aussage.

Also: Im ersten Teil wird gesagt, dass alle Punkte im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ Häufungspunkte von X4 sind. Ja, das stimmt. Es sind nicht alle möglichen, aber sie sind alle welche. Dann kommt sofort die Schlussfolgerund Somit enthält X4 nicht alle seine Häufungspunkte.

Wie kommen die bitte nun auf diese Schlussfolgerung? Die meinen wohl das gleiche wie ich, da es ja noch die reellen Zahlen gibt die auch HPs sein können. Aber ich finde, der Teil fehlt in der Aussage. Nicht?

Noch eine Frage nebenbei: Kann ich sagen: $\begin{eqnarray*} \cup_{a \in [0,1]}(a, a+1)=(0,2) \end{eqnarray*}$

14.01.2015, 18:11

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

1. $\begin{eqnarray*} \pi=3,14 > \sqrt 2=1,41 \end{eqnarray*}$ ist bestimmt kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ . Das Intervall $\begin{eqnarray*} [-\sqrt 2,\sqrt 2] \end{eqnarray*}$ ist die Menge der Häufungspunkte von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ . Ich hoffe, damit sind deine Fragen beantwortet.

2. Nein, die Vereinigung ist $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$

14.01.2015, 18:22

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Die Vereinigung offener Mengen sollte besser offen sein.

14.01.2015, 18:26

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

2. Ich nehme alles zurück ... ja, klar, die Vereinigung ist (0,2) ... danke.

15.01.2015, 10:48

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, okay, pi ist ein schlectes Beispiel. Mir gings darum dass ein Element von R\Q auch ein Häufungspunkt sein kann. Du meinst, das Intervall über R sind meine Häufungspunkte, oder?

15.01.2015, 11:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von balance
Im ersten Teil wird gesagt, dass alle Punkte im Intervall $\begin{eqnarray*} [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ Häufungspunkte von X4 sind. Ja, das stimmt. Es sind nicht alle möglichen, aber sie sind alle welche.

Aha. Dann nenne mir doch bitte mal eine weitere reelle Zahl außerhalb von $\begin{eqnarray*} [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ , die Häufungspunkt von $\begin{align*} X_4 \end{align*}$ ist. Augenzwinkern

P.S.: Vorsicht, bevor man sich um Kopf und Kragen redet.

15.01.2015, 13:50

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Du missverstehst mich. Ich meinte nicht ausserhalb des Intervalls. Was ich sagte bzw. sagen wollte war:

Unser X enthält alle rationalen Zahlen zwischen plus Wurzel 2 und minus Wurzel 2. Da unser X aber eine Teilmenge von den reellen Zahlen ist, sind auch alle zahlen zwischen plus Wurzel 2 und minus Wurzel 2 welche element von R\Q sind, auch Häufungspunkte. z.b. ist pi/4 auch ein Häufungspunkt von X nicht aber ein Element davon.

Abschluss ist also $\begin{eqnarray*} [latex][-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ \subset \mathbb{R}[/latex]

Mir gings wirklich nur um die Logik der Aussage, ich fand die Schlussfolgerung nicht wirklich gut. Aber ok, passt schon, auch egal.

Andere Frage:

Satz: Sei $\begin{eqnarray*} f: R^n \to R^m \end{eqnarray*}$ stetig. Dann ist für jede abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} A \subset R^m \end{eqnarray*}$ das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Rein intuitiv finde ich die Aussage stimmt. Ich hab jedoch ein paar Fragen dazu:
1. Kann ich aus dem Satz auch noch irgendwas über clopen und offen sagen?
2. Hier brauchts ein Beispiel:
Ist $\begin{eqnarray*} X=\{(x,y) \in R^2|x^2-y^4\leq 5\} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen?

Wir definieren die Funktion $\begin{eqnarray*} f: R^2 \to R, (x,y) \to x^2-x^4 \end{eqnarray*}$ Diese Funktion ist stetig. Wir wissen, dass das Urbild jeder abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist. In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} X=f^{-1}(-\infty ,5] \end{eqnarray*}$ das Urbild der abgeschlossenen Menge (-inf, 5]. Somit ist X abgeschlossen.

- Also, wir haben jetzt mit dem Satz von oben gezeigt, dass X abgeschlossen ist. Kann mir jemand erklären wie das gerade funktioniere? Ich meine, der Satz hat als Voraussetzung ja, dass die Menge abgeschlossen ist und macht dann eine Aussage über das Urbild. Wir wissen aber nicht, ob die Menge abgeschlossen ist, wenden dann den Satz an und wissen urplötzlich, die Menge ist abgeschlossen. Ich versteh nicht, was der Satz in dem Beispiel soll, was er bewirkt, inwiefern wir ihn gerade benutzt haben um die Abgeschlossenheit zu zeigen.
War das so im Stil: Wir probieren einfach mal aus, was die Funktion ausspuckt? Fanden dann ein Urbild, guckten dass Urbild an -> das ist abgeschlossen, ergo ist auch die Menge abgeschlossen? Falls ja: Was ist der Vorteil hiervon? Was bringts? Wieso gucken wir nicht einfach ob das Komplement offen ist?

15.01.2015, 14:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von balance
Du missverstehst mich.

Wenn man es so ausdrückt, klingt es natürlich ganz anders als "Mit der Formulierung lag ich falsch." Augenzwinkern

Du hast klar die Grundmenge $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ benannt und dann von "allen Punkten des Intervalls $\begin{align*} [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{align*}$ " geredet.

Da gibt es nichts zu missverstehen, dann meinst du damit auch alle reellen Zahlen aus diesem Intervall - andernfalls hättest du von "allen rationalen Punkten des Intervalls $\begin{align*} [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \end{align*}$ " sprechen müssen.

15.01.2015, 16:19

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe. Ja, stimmt. Naja, wenn ich schreibe "Du missverstehst" mich wollte ich dir nicht unterstellen, du begreifst das Thema nicht. smile

Aber ich schrieb auch "was ich sagen wollte", das impliziert wieder den Fehler bei mir. smile

Ok, ich seh was falsch lief. Da hab ich jetzt Freude. smile

Wäre toll wenn mir nun noch jemand was zum Satz sagen könnte und inwiefern ich den benutzen kann um Abgeschlossenheit zu zeigen.

Ich danke

15.01.2015, 18:17

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Intervall $\begin{eqnarray*} A=(-\infty,5] \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ - mehr wird da nicht benutzt.

15.01.2015, 18:20

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

@balance

1. Dass $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen ist, dürfte nun hinreichend geklärt sein.

2. $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ ist auch nicht offen. Da argumentierst du gleich 2 mal falsch.
2. a) Du sagst : $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sind keine inneren Punkte.
Ich sage: $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sind keine Punkte von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ , dein Argument sagt also nichts über die Offenheit von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ aus.
2. b) Du sagst : Da kein Intervall existiert weclhes vollkommen in X4 enthalten ist.
Ich sage: Die Menge $\begin{eqnarray*} X_5=X_4\cup (-1,1) \end{eqnarray*}$ enthält ein offenes Intervall und ist trotzdem nicht offen. Dein Argument sagt also nichts über die Offenheit von $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ aus.

16.01.2015, 09:31

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis, danke, ich kann dir zwar nicht ganz folgen, da ich nicht weis auf was du dich genau beziehst, aber passt schon. Ich denke, mein Eingangspost war sehr schlecht verfasst, natürlich aufgrund Unwissenheit. Für mich ist bezüglich X4 alles geklärt.

URL, die Abgeschlossenheit wird mittels des Satzes gezeigt. Mir ist nicht klar, wie das funktionieren soll. Wieso benutzen die den Satz? Was bringts?

16.01.2015, 13:10

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Bezüglich X4 hast du gefragt, deine Fragen enthielten viele Fehler, deine Ideen auch. Jetzt dürfte alles geklärt sein, wenn du es verstehen willst, musst du intensiv arbeiten.

Zum Satz vom abgeschlossenen Urbild einer stetigen Abbildung ist zu sagen, dass die Stetigkeit einer Abbidung dadurch definiert ist, dass das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Der Satz zeigt, dass man "offen" durch "abgeschlossen" ersetzen kann. Das ist ein prima Satz, der immer dann hilft, wenn die abgeschlossenen Mengen leichter zu beherrschen sind als die offenen.

16.01.2015, 13:52

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich muss man hart arbeiten.

Danke, ich hab meinen Fehler bezüglich des Satzs bzw. dessen Anwedung im Beispiel gerade bemerkt.

Langsam kommt das mit der Topologie.

Neue Frage »

Antworten »

Frage zu Abgeschlossenheit

Verwandte Themen