Möglichst kleine Innenoberfläche eines Behälters

14.01.2015, 16:47

tom995

Möglichst kleine Innenoberfläche eines Behälters

Meine Frage:
Hallo!
ich bin dabei diese Prüfungsaufgabe zu lösen, habe aber startschwierigkeiten bei einer Teilaufgabe

Die Aufgabe lautet
"Geplant ist die Verwendung neuer Druckbehälter in derselbwn Form wie oben[konnte ich bereits lösen] beschrieben, aber mit veränderten Abmessungen für den Innendurchmesser di und die innenlänge li des zylindrischen TEils.
Diese Behälter sollen so hergestellt werden, dass ihre gesamte Innenoberfläche aus Kostengründen möglichst klein ist.
Der zylindrische Teil der Behälter soll dabei ein konstantes Volumen von Vz Litern Gas aufnehmen können.

Weisen Sie nach, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} A\left(d_{i} \right)=\frac{\pi d_{i}^{3} + 4V_{z} }{d_{i}} \left(d_{i}\in \mathbb R,d_{i}>0\right) \end{eqnarray*}$
eine Funktionsgleichung für die Innenoberfläche des Behälters in Abhängigkeit von di ist.

Meine Ideen:
ähm, ja, keine Idee..

ich habe für diese aufgabe so gar keinen ansatz, Im Unterricht haben wir zwar schon beweise durchgeführt, allerdings waren dies rückführende Beweise

ich habe die vermutung, dass ich irgend wie bei der Tafelwerkgleichung Ao=2pi*r(r*+h) rauskommen soll aber wie..? und Ob das überhaupt stimmt, das war schon Grund genug fürmich, das Forum mit all seinen guten Wichteln zu penetrieren..
zumalen ich auch noch in wenigen Wochen Vor-abitur schreibe..
also eine Hilfreiche Antwort, gern auch Hilfe-zur-selbst-Hilfe ist sehr gern willkommen smile

oh, offensichtlich habe ich eine wichtige Information überlesen...
beidseitig ist eine halbkugel bei diesem behälter angesetzt..

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

14.01.2015, 20:57

Bürgi

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RE: Möglichst kleine Innenoberfläche eines Behälters
Guten Abend,

Zitat:

ich habe die vermutung, dass ich irgend wie bei der Tafelwerkgleichung Ao=2pi*r(r*+h) rauskommen soll ...

Diese Vermutung trügt:

Das Volumen setzt sich zusammen aus einer Kugel (= 2 Halbkugeln) und einem Zylinder.

Die Innenoberfläche setzt sich zusammen aus einer Kugeloberfläche (= 2 Kugelhalbschalen) und einem Zylindermantel.

Beide Gleichungen enthalten die Variablen d und l. Da am Ende die Variable d als Veränderliche übrigbleiben soll, musst Du die Variable l in der Oberflächengleichung ersetzen.

15.01.2015, 17:18

tom995_2

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aber kann ich denn die variable l einfach so ersetzen?
l steht ja sicher für die höhe h? aber d ist ja der durchmesser? ...
also:
$\begin{eqnarray*} A_{oges}=A_{Mz}+ A_{Mk}=\left(\pi\times d_{i}\times l_{i} \right)+ \left( \pi \times d_{i}^{2} \right) \end{eqnarray*}$

wenn ich dann li mit di ersetze steht dann das da:

$\begin{eqnarray*} A_{oges}=A_{Mz}+ A_{Mk}=\left(\pi\times d_{i}\times d_{i} \right)+ \left( \pi \times d_{i}^{2} \right) \end{eqnarray*}$

und zusammengefasst wäre das dann das?

$\begin{eqnarray*} A_{oges}= 2\pi d_{i}^{2} \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2015, 22:09

Bürgi

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Guten Abend,

jetzt hast Du mich missverstanden:

1. $\begin{eqnarray*} V = \frac16 \pi d^3+ \frac14 \pi d^2 \cdot l~\implies~l=\frac{V-\frac16 \pi d^3}{\frac14 \pi d^2} \end{eqnarray*}$

Das kann man noch ein bisschen vereinfachen - muss man aber nicht.

2. $\begin{eqnarray*} A=\pi d^2 + \pi d \cdot l \end{eqnarray*}$

Die Oberfläche soll einen Extremwert annehmen in Abhängigkeit von d. Ersetze das l mit dem Term aus 1. und ermittle den Extremwert mittels 1. Ableitung.

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