Differentialgleichung Schwingung

14.01.2015, 20:15

_Peter

Differentialgleichung Schwingung

Die Schwingungsgleichung müsste doch eigentlich Q(t)=Qo*cos(wt)*e^(-a) heißen oder?
Ich habe leider noch keine komplette komplexe Lösung der Differentialgleichung im Internet gefunden.
Kann mir jemand weiter helfen?

14.01.2015, 20:53

Complexi

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Was meinst du mit Schwingungsgleichung?

Die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} \ddot Q (t) + \gamma \dot Q(t) + \omega^2 Q(t) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

14.01.2015, 21:46

Complexi

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Lösen lässt sie sich mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_0\cdot e^{\varphi t} \end{eqnarray*}$ mit i.A. komplexen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Einfach einsetzen und ausrechnen.

15.01.2015, 17:59

_Peter

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Dgl
Ja, die meine ich bei mir bleibt aber ein \frac{\alpha}{\omega^2-\alpha^2} übrig.

Bei mir funktioniert mein LaTex Code hier im Forum leider nicht.

15.01.2015, 18:07

_Peter

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Dgl
Der Ansatz ist doch Q(t)=Q1e^(p1*t)+Q2e^(p2*t) ?
Dabei sind p1 und p2 die Lösung der charakteristischen Gleichung.

15.01.2015, 18:08

HAL 9000

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Ok, normalerweise hat man die DGL und will dann die Lösung bestimmen. Bei dir ist es anscheinend umgekehrt: Du hast die Lösung $\begin{align*} Q(t) = Q_0\cdot \cos(\omega t)\cdot e^{-\alpha~{\color{red}t}} \end{align*}$ vorgegeben, und suchst nun eine dazu passende DGL - sehe ich das richtig?

Wenn man annimmt, dass es sich um eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten handelt, dann kann man aus $\begin{align*} Q(t) \end{align*}$ die Lösungen $\begin{align*} \lambda_{1,2}=-\alpha\pm \omega i \end{align*}$ der charakteristischen Gleichung ablesen, die dann gemäß Vieta $\begin{align*} \lambda^2 + 2\alpha\lambda + (\alpha^2+\omega^2) = 0 \end{align*}$ lautet, die originale DGL dann

$\begin{align*} \ddot{Q}(t) + 2\alpha\cdot \dot{Q}(t) + (\alpha^2+\omega^2)\cdot Q(t) = 0 \end{align*}$ .

15.01.2015, 18:25

_Peter

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Dgl
Nein, bis dahin habe ich die DGL gelöst.

$\begin{eqnarray*} $Q(t)= (\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})Q_0e^{-\alpha t}e^{i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t}+(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})Q_0e^{-\alpha t}e^{-i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t}$ \end{eqnarray*}$

Aber bei mir bleibt nach der Umwandlung in sin() bzw. cos():
$\begin{eqnarray*} $ Q(t)=Q_Oe^{-\alpha t}\big[ (cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t) + \frac{\alpha}{i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}}isin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t)\big]$ \end{eqnarray*}$

15.01.2015, 18:44

HAL 9000

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(Vergiss es.)

15.01.2015, 18:48

_Peter

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Dgl
Es ist die oben schon von Complexi genannte Schwingungs DGL.

15.01.2015, 19:11

_Peter

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Dgl
Weis jemand wie man hier Formelnschreiben kann? Dann könnte dich die DGL schreiben.

15.01.2015, 19:14

HAL 9000

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Über jedem Beittrag gibt es einen "Zitat"-Button. Es gibt genug Beispiele hier im Thread, wo du dir da was abgucken kannst - z.B. den ersten von Complexi.

15.01.2015, 19:17

_Peter

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Dgl
Wenn ich die DGL lösen will komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_Oe^{-\alpha t}\big[ (cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t) + \frac{\alpha}{i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}}isin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t)\big] \end{eqnarray*}$

15.01.2015, 19:21

_Peter

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Dgl
Ich beginne mit:

$\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_1e^{(-\alpha+i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2})t}+Q_2e^{(-\alpha-i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2})t} \end{eqnarray*}$

mit Q1= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})Q_0 \end{eqnarray*}$

und Q2= $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})Q_0 \end{eqnarray*}$

15.01.2015, 19:24

HAL 9000

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Wenn du dich schon auf

Zitat:

Original von Complexi
$\begin{eqnarray*} \ddot Q (t) + \gamma \dot Q(t) + \omega^2 Q(t) = 0 \end{eqnarray*}$

beziehst, dann solltest du ein paar Worte verlieren, wie denn deine $\begin{align*} \alpha,\omega_0 \end{align*}$ mit den DGL-Parametern $\begin{align*} \gamma,\omega \end{align*}$ zusammenhängen - sonst hängt da was fürchterlich in der Luft.

15.01.2015, 19:47

_Peter

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Dlg
$\begin{eqnarray*} \ddot{Q}(t)+2\alpha\dot{Q}(t)+\omega_0^2Q(t)=0 \end{eqnarray*}$

15.01.2015, 20:58

HAL 9000

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Im neunten (!) Beitrag endlich die DGL genannt, um die es wirklich geht - Glückwunsch.

17.01.2015, 11:17

_Peter

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Dgl
Kann mir jemand weiter helfen?

17.01.2015, 11:54

HAL 9000

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Wir sind eigentlich noch gar nicht fertig mit dem Zusammentragen der Ausgangsdaten. Für eine eindeutige Lösung benötigen wir auch noch Anfangsbedingungen:

Deinen Ausführungen nach würde ich raten, dies sind $\begin{align*} Q(0)=Q_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \dot{Q}(0)=0 \end{align*}$ ?

Anscheinend betrachtest du nur den Fall $\begin{align*} \omega_0 > \alpha \end{align*}$ , und kommst dann (mit der Abkürzung $\begin{align*} \omega:=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2} \end{align*}$ ) zur Lösung

$\begin{align*} Q(t) = Q_1 e^{(-\alpha + i\omega)t} + Q_2 e^{(-\alpha - i\omega)t} \end{align*}$

mit $\begin{align*} Q_1 = \left( \frac{1}{2} + \frac{\alpha}{2i\omega} \right)Q_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} Q_2 = \left( \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{2i\omega} \right)Q_0 \end{align*}$ .

Ok, ich nehme an, du willst das ganze in eine reelle Form überführen? Da ist natürlich in erster Linie

$\begin{align*} e^{(-\alpha \pm i\omega)t} = e^{-\alpha t} \cdot e^{\pm i\omega t} = e^{-\alpha t} \left( \cos(\omega t) \pm i\sin(\omega t) \right) \end{align*}$

einzusetzen, und dann auszumultiplizieren.

17.01.2015, 12:05

_Peter

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Dgl
Ja, ich will das ganze in eine reale Form überführen. Wenn ich in

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{align*} Q(t) = Q_1 e^{(-\alpha + i\omega)t} + Q_2 e^{(-\alpha - i\omega)t} \end{align*} \end{eqnarray*}$

Q1 und Q2 :
$\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_0e^{-\alpha t}\Big[ (\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})(cos\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t + isin\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t)\\ +(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})(cos\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t - isin\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t) \Big] \end{eqnarray*}$

bleibt: $\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_Oe^{-\alpha t}\big[ (cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t) +\frac{\alpha}{(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}}sin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t)\big] \end{eqnarray*}$ übrig.

Eigentlich müsste doch : $\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_Oe^{-\alpha t}\big[ (cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t) + sin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t)\big] \end{eqnarray*}$

übrig bleiben, da die für die Schwingung gilt: $\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_0e^{-\alpha t}sin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2t+\varphi)}) \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 12:08

_Peter

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Dgl
Die letze Gleichung müss natürlich: $\begin{eqnarray*} Q_0e^{-\alpha t}sin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t+\varphi) \end{eqnarray*}$ heißen.

17.01.2015, 12:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von _Peter
Eigentlich müsste doch : $\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_Oe^{-\alpha t}\big[ (cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t) + sin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t)\big] \end{eqnarray*}$

Nicht ganz: Vor dem Sinusterm ist noch ein Extrafaktor. Multipliziere alles aus, vereinfache, dann siehst du es.

17.01.2015, 12:22

_Peter

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Dgl
dannn komme ich nur auf:
$\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_0e^{-\alpha t}cos(\omega t)+Q_0e^{-\alpha t}\frac{\alpha}{\omega}sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 12:25

HAL 9000

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Ist richtig. Freude

Irgendwas dagegen einzuwenden? Augenzwinkern

17.01.2015, 12:30

_Peter

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Dgl
oder auch auf: $\begin{eqnarray*} Q_0e^{-\alpha t}cos(\omega t)+Q_0e^{-\alpha t}\alpha\int cos(\omega t) dt \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 12:34

_Peter

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Dgl
Wie kann man das noch weiter umwandeln?

17.01.2015, 12:37

HAL 9000

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Ich weiß nicht, welche Umwandlung dir noch vorschwebt. Du kannst natürlich noch die beiden Sinus- und Kosinusterme zu einem einzigen Sinus- oder Kosinusterm mit Phasenverschiebung zusammenfassen, d.h.

$\begin{align*} Q(t) = Q^* \sin(\omega t + \varphi_0) e^{-\alpha t} \end{align*}$ ,

so ähnlich stand es ja schon mal oben bei dir. Allerdings ist $\begin{align*} Q^*\neq Q_0 \end{align*}$ , zumindest im Fall $\begin{align*} \alpha\neq 0 \end{align*}$ .

17.01.2015, 13:51

RavenOnJ

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RE: Dgl
es gibt kein $ oder $

Zitat:

Original von _Peter
Nein, bis dahin habe ich die DGL gelöst.

$\begin{eqnarray*} Q(t)= (\frac{1}{2}+\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})Q_0e^{-\alpha t}e^{i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t}+(\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{2i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}})Q_0e^{-\alpha t}e^{-i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t} \end{eqnarray*}$

Aber bei mir bleibt nach der Umwandlung in sin() bzw. cos():

$\begin{eqnarray*} Q(t)=Q_Oe^{-\alpha t}\big[ (cos(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t) + \frac{\alpha}{i\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}}isin(\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}t)\big] \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 13:56

RavenOnJ

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RE: Dgl
vergiss \begin{align*} \end{align*}, funktioniert hier nicht. Zumal du gar nix alignen wolltest.

Zitat:

Original von _Peter
Ja, ich will das ganze in eine reale Form überführen. Wenn ich in

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Q(t) = Q_1 e^{(-\alpha + i\omega)t} + Q_2 e^{(-\alpha - i\omega)t} \end{eqnarray*}$

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