Vektoren als Spaltenvektoren

15.01.2015, 08:49

Agnes96

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Vektoren als Spaltenvektoren

Meine Frage:
Ich begrüße alle an dem verregneten Morgen.

Es geht um diese Aufgabe:
Es seien die drei Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \vec{v_1} := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{v_2} := \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{v_3} := \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise durch einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ wie folgt darstellen lässt:

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{T}(\vec{x}) := x_1 \vec{v_1} + x_2 \vec{v_2} + x_3 \vec{v_3} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die 'Koordinaten' $\begin{eqnarray*} x_1 , x_2 , x_3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ bzgl. des von $\begin{eqnarray*} \vec{T} : \mathcal{R}^3 \rightarrow \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ festgelegten Koordinatensystems. Was kann über die Injektivität und Subjektivität von $\begin{eqnarray*} \vec{T} \end{eqnarray*}$ festgestellt werden?

Meine Ideen:
Zuerst ist zu zeigen, dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise durch einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ darstellen lässt als $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{T}(\vec{x}) := x_1 \vec{v_1} + x_2 \vec{v_2} + x_3 \vec{v_3} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \end{eqnarray*}$ einsetzen in $\begin{eqnarray*} \vec{T}(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ das wäre aber bisschen simpel.

Ich muss aber zeigen, dass dies spaltenmäßig geschieht und für jeden Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht wie ich alle Vektoren erfassen soll, ich trete da auf der Stelle unglücklich

unglücklich

Interessierten Helfern danke ich schon mal!

Aggi

15.01.2015, 10:18

Ehos

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Im Prinzip sollst du nichts anderes tun, als das folgende Gleichungssystem lösen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit dieses Gleichunngssystem eindeutig lösbar ist, muss die Koeffizientendeterminante gewisse Eigenschaften haben. Welche?

15.01.2015, 10:35

Agnes96

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Zitat:

Original von Ehos
Damit dieses Gleichunngssystem eindeutig lösbar ist, muss die Koeffizientendeterminante gewisse Eigenschaften haben. Welche?

Gewissen Eigenschaften sollte die Koeffizientendeterminante haben? Ich taufe sie mal mit dem Namen C.

$\begin{eqnarray*} C := \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun mir fällt der Begriff der linearen Abhängigkeit und nicht Abhängigkeit ein. Da bin aber noch nicht ganz auf der Höhe was das bedeutet. Definitionsmäßig schon aber verstanden habe ich es nicht.

Es ist ja so wie ich es verstanden habe, dass in einer Linearkombination die Koeffizienten eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren linear unabhängig sind. Das braucht man ja zur Feststellung der Lösbarkeit von einem LGS. Das LGS ist ja genau dann eindeutig lösbar, wenn die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix linear unabhängig sind.

Ich muss also überprüfen ob meine Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, d.h. ja nichts anderes wie von dir erwähnt das LGS zu lösen. Ich muss also nach $\begin{eqnarray*} b_1, b_2, b_3 \end{eqnarray*}$ auflösen. Wenn nur eine einzige Lösung existiert, also $\begin{eqnarray*} b_1 = b_2 = b _3 = 0 \end{eqnarray*}$ , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es hingegen weitere Lösungen gibt, sind die Vektoren linear abhängig. Habe ich das richtig aufgefasst? Auf deine Frage zurückkommend muss die Koeffizientenmatrix also zwingend linear unabhängig sein?

Danke Ehos,

Aggi

15.01.2015, 11:36

Ehos

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Ja, die Spalten der 3x3-Matrix müssen zwingend linear unabhängig sein, damit die Linearkombination eindeutig ist.

Habt ihr den Begriff "Determinante einer Matrix" schon behandelt? Die Spalten der Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante nicht Null ergibt. Berechne also einfach die Determinante der Matrix.

15.01.2015, 12:00

Agnes96

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Nein wir haben Determinanten noch nicht behandelt. Wir haben nur erwähnt wann ein solches LGS einen Lösungsvektor hat, also wann stets mindestens einen (surjektiv), höchstens einen (injektiv) und genau einen (bijektiv) zu $\begin{eqnarray*} \vec{w} \in R^m \text{ mit } \vec{f} : R^n \rightarrow R^m \text{ und } \vec{w} \in R^m \end{eqnarray*}$ Und das verstehe ich nicht.

Und dann gibt es halt die Bedingungen:
Zu $\begin{eqnarray*} \vec{w} \in R^m \end{eqnarray*}$ gibt es stets mindestens einen Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{z} \in R^n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B \cdot \vec{z} = \vec{w} \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

Zu $\begin{eqnarray*} \vec{w} \in R^m \end{eqnarray*}$ gibt es höchstens einen Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{z} \in R^n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B \cdot \vec{z} = \vec{w} \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Zu $\begin{eqnarray*} \vec{w} \in R^m \end{eqnarray*}$ gibt es genau einen Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{z} \in R^n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B \cdot \vec{z} = \vec{w} \end{eqnarray*}$

D.h. $\begin{eqnarray*} \vec{f} \end{eqnarray*}$ ist bijektiv

Jetzt steht in der Aufgabenstellung, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \in R^3 \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise durch einen Spaltenvektor darstellbar ist der angegebenen Form und ich erkenne nicht welcher Fall das ist oder ob das überhaupt das gemeinte ist. Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll damit.

Mit der Determinante sollte das aber glaube ich nicht gezeigt werden.

Aggi

15.01.2015, 12:36

Ehos

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Wenn der Begriff "Determinante" unbekannt ist, versuche das Gleichungssystem mittels Gauß-Algorithmus eindeutig zu lösen oder versuche alternativ mittels Gaußalgorithmus die Inverse Matrix zu berechnen. Wenn eines von beiden gelingt, ist die Linearkombination eindeutig.

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15.01.2015, 12:46

Agnes96

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Inverse bestimmen hatten wir auch noch. Bei der Lösung mit Gauß erhalte ich, dass

$\begin{eqnarray*} x_2 = b_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 = b_3 \end{eqnarray*}$ und wenn ich dass in die erste Zeile einsetze

kommt ja ohnehin ja schon nicht heraus, dass

$\begin{eqnarray*} b_1 = b_2 = b_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Komme da seit ner Stunde nicht weiter unglücklich

unglücklich

Aggi

15.01.2015, 21:29

Agnes96

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Zitat:

Original von Agnes96
Inverse bestimmen hatten wir auch noch.

Gemeint war hatten wir auch noch nicht.

Ich meine wie soll ich das zeigen, das geht doch nicht, es ist nicht erfüllbar.

Aggi

17.01.2015, 09:18

Agnes96

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Morgen,

Ich hoffe das verstößt nicht gegen das Boardprinzip, wenn ich jetzt eine dritte Nachricht hintereinander verfasse, aber ich komme wirklich nicht weiter und weiß nicht wie ich das an der Stelle lösen kann. Könnte vllt jmd so lieb so ein mir ein Tipp geben?

Aggi

17.01.2015, 09:43

sixty-four

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Zitat:

Original von Agnes96

kommt ja ohnehin ja schon nicht heraus, dass

$\begin{eqnarray*} b_1 = b_2 = b_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Was meinst du damit?

$\begin{eqnarray*} b_1, b_2 \mbox{ und } b_3 \end{eqnarray*}$ sind doch Konstanten. Was du bestimmen musst, sind die Werte für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=b_2 \mbox{ und } x_3=b_3 \end{eqnarray*}$ hast du doch schon richtig ermittelt. Wenn du das in die erste Gleichung einsetzt, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3b_2 - b_3 = b_1 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_1 = b_1 -3b_2 + b_3 \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 10:00

Agnes96

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Zitat:

Original von Agnes96
Ich muss also überprüfen ob meine Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, d.h. ja nichts anderes wie von dir erwähnt das LGS zu lösen. Ich muss also nach $\begin{eqnarray*} b_1, b_2, b_3 \end{eqnarray*}$ auflösen. Wenn nur eine einzige Lösung existiert, also $\begin{eqnarray*} b_1 = b_2 = b _3 = 0 \end{eqnarray*}$ , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn es hingegen weitere Lösungen gibt, sind die Vektoren linear abhängig.

Das war gemeint.

Ja darauf kam ich auch und da ist ja jetzt nicht $\begin{eqnarray*} b_1 = b_2 = b _3 = 0 \end{eqnarray*}$ und das ist ja das Kriterium für lineare Unabhängigkeit?

Auf deine Berechnung kam ich auch sixty-four nur wusste ich in den Tagen nichts damit anzufangen und immer noch nicht.

Aggi, danke für die Antwort!

17.01.2015, 10:24

sixty-four

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Ich glaube, da hast du etwas falsch verstanden. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren bedeutet, dass eine Linearkombination dieser Vektoren, die den Nullvektor ergibt nur die triviale Linearkombination sein kann. Also:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{v_1}, \mathfrak{v_2}, \mathfrak{v_3} \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig, wenn aus

$\begin{eqnarray*} \lambda_1\mathfrak{v_1} + \lambda_2 \mathfrak{v_2} +\lambda_3 \mathfrak{v_3} = \mathfrak{o} \end{eqnarray*}$

folgt, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$ sein müssen.

Anders gesagt: Wenn $\begin{eqnarray*} b_1=b_2=b_3=0 \end{eqnarray*}$ ist, musst du zeigen, dass dein Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat.
Das ist zwar gleichbedeutend mit deiner Aufgabenstellung, aber so nicht gefordert. Es wird ja nirgends gesagt, dass die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ alle 0 sein sollen.

17.01.2015, 10:43

Agnes96

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RE: Vektoren als Spaltenvektoren

Zitat:

Original von sixty-four
Anders gesagt: Wenn $\begin{eqnarray*} b_1=b_2=b_3=0 \end{eqnarray*}$ ist, musst du zeigen, dass dein Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat.
Das ist zwar gleichbedeutend mit deiner Aufgabenstellung, aber so nicht gefordert. Es wird ja nirgends gesagt, dass die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ alle 0 sein sollen.

Okay dann habe ich es wohl falsch aufgefasst. Jetzt weiß ich weiterhin nicht wo der Hase läuft. Wie schon deinerseits erwähnt sind die Werte für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Das erfolgte ja von deiner Person aus. Was bedeutet das jetzt? Das wäre dann wohl aber der zweite Aufgabenteil, nämlich die 'Koordinaten' $\begin{eqnarray*} x_1 , x_2 , x_3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ bzgl. des von $\begin{eqnarray*} \vec{T} : \mathcal{R}^3 \rightarrow \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ festgelegten Koordinatensystems zu bestimmen?

Was man über die Injektivität und Subjektivität von $\begin{eqnarray*} \vec{T} \end{eqnarray*}$ sagen kann ist, dass ich laut der Definitionen der Vorlesung es genau einen Lösungsvektor gibt, d.h. der Lösungsvektor bijektiv ist? (siehe mein dritter Beitrag)

Zitat:

Original von Agnes96
Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise durch einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ wie folgt darstellen lässt:

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{T}(\vec{x}) := x_1 \vec{v_1} + x_2 \vec{v_2} + x_3 \vec{v_3} \end{eqnarray*}$

Da hänge ich noch fest und weiß auch nicht genau was man da von mir will unglücklich

unglücklich

Aggi

18.01.2015, 21:32

Agnes96

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Hey Leute ich würde echt gerne euch nicht mehr nerven und die Aufgabe endlich bei den Ohren packen und lösen, aber alleine schaffe ich das nicht unglücklich

unglücklich

Aggi

18.01.2015, 23:42

Complexi

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Rechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von b aus (die stehen hier schon im Thread) und argumentiere, wieso diese eindeutig sein müssen.

19.01.2015, 00:04

Agnes96

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RE: Vektoren als Spaltenvektoren
Tut mir leid in meinem Beitrag davor habe ich geschrieben, was mir unklar ist und dass die Deutung der Ergebnisse mir nicht eindeutig klar geworden ist. Die Berechnung erfolgte ja, aber wie gesagt es ist mir nicht eindeutig klar.

Aggi

19.01.2015, 00:15

wopi

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RE: Vektoren als Spaltenvektoren
würde dir gern helfen,
bin aber leider nicht voll in deiner Diskussion drin.
Was genau verstehst du denn nicht?

19.01.2015, 00:30

Agnes96

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RE: Vektoren als Spaltenvektoren
Also es sind ja im Grunde drei Fragen zu beantworten:
1)
Es seien die drei Vektoren:
$\begin{eqnarray*} \vec{v_1} := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{v_2} := \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vec{v_3} := \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise durch einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ wie folgt darstellen lässt:

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{T}(\vec{x}) := x_1 \vec{v_1} + x_2 \vec{v_2} + x_3 \vec{v_3} \end{eqnarray*}$

2)
Bestimmen Sie die 'Koordinaten' $\begin{eqnarray*} x_1 , x_2 , x_3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ bzgl. des von $\begin{eqnarray*} \vec{T} : \mathcal{R}^3 \rightarrow \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ festgelegten Koordinatensystems.

3)
Was kann über die Injektivität und Subjektivität von $\begin{eqnarray*} \vec{T} \end{eqnarray*}$ festgestellt werden?

Der zweite Teil wurde soweit bearbeitet, auflösen nach $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ ?
Ich würde gerne wissen was ich noch bei 1) und 3) zu tun habe. Die Unklarheiten sind eig in meinem 6. Beitrag geschildert.
Aggi

19.01.2015, 00:31

wopi

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RE: Vektoren als Spaltenvektoren
du musst nur zeigen, dass es zu jedem Vektor b aus R3 drei Zahlen x, y, z, gibt, so dass gilt:

x * v1 + y * v2 + z * v3 = b

Das ist ein lineares Gleichungssytem mit drei Unbekannten:

v11 *x + v21 *y + v31 * z = b1

v12 *x + v22 *y + v32 * z = b2

v13 *x + v23 *y + v33 * z = b3

wenn du die Koordinaten von v1, v2 und v3 (v11 ... v33) einsetzt, siehst du sofort, dass man - für beliebige b1,b2,b3 aus der dritten Gleichung z, dieses eingesetzt aus der zweiten Gleichung y und - wenn man z und y in die 1. Gleichung einsetzt - dort x ausrechnen kann!

zu 3)

T ist eine Zuordnung, die jedem Vektor aus R3 irgendeinen Vektor aus R3 zuordnet.
Diese Zuordnung ist injektiv, wenn durch T jedem Vektor ein anderer Vektor zugeordnet wird.
Du musst dir überlegen, ob das der Fall ist!

Subjetivität von Vektoren gibt es nicht!
Gemeint ist wohl Surjektivität.

Die Zuordnung T ist surjektiv, wenn jeder Vektor aus R3 durch T tatsächlich einem anderen Vektor zugeordnet wird.

19.01.2015, 00:37

Complexi

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Sorry, nicht sorgfältig genug gelesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Es ist nicht ganz einfach, dir zu raten, wie du die Eindeutigkeit zeigen kannst, wenn man nicht weiß, was in der Vorlesung schon behandelt wurde. Du kannst dir aber auch wie folgt behelfen:

Eindeutigkeit bedeutet hier, dass Vektoren $\begin{eqnarray*} c,d \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , die sich in mindestens einer Komponente unterscheiden, sich auch in mindestens einer Komponente der Darstellung in den $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ unterscheiden.

Falls sich die Vektoren schon in $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_3 \end{eqnarray*}$ unterscheiden, so ist das trivial (denn dann sind ja die $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ des jeweiligen Vektors laut deiner Gleichungen schon verschieden). Nehmen wir also an, diese beiden unteren Komponenten von c und d wären identisch.

Falls die ursprünglichen Vektoren sich nur in den Komponenten $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ unterscheiden, so bekommst du für die erste x-Komponente von c die Geradengleichung $\begin{eqnarray*} x_1 = c_1-3c_2+c_3 \end{eqnarray*}$ und für die erste x-Komponente von d
$\begin{eqnarray*} x_1 = d_1-3d_2+d_3=d_1-3c_2+c_3 \end{eqnarray*}$ , denn die beiden unteren Komponenten der Vektoren waren ja identisch. Also unterscheiden sich die x-Darstellungen der beiden Vektoren in der 1. Komponente, wenn $\begin{eqnarray*} d_1\neq c_1 \end{eqnarray*}$ . (Eine Gerade mit Steigung 1 hat nie für verschiedene Argumente den gleichen Funktionswert, anschaulich ist das klar). Damit ist die Eindeutigkeit gezeigt.

Die Existenz der Lösung folgt bereits daraus, dass du die $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ berechnet hast und diese für jeden beliebigen Vektor b des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ definiert sind. Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit gezeigt.

Ich nehme aber an, in der Vorlesung wurden auch Sätze über die eindeutige Lösbarkeit des Gleichungssystems behandelt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2015, 00:44

Agnes96

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Ja und auflösen liefert genau
$\begin{eqnarray*} x_2=b_2 \mbox{ und } x_3=b_3 \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} x_1 = b_1 -3b_2 + b_3 \end{eqnarray*}$ [/quote]

Und das ist doch die Lösung im Endeffekt für 1)? Das ist doch auch alles was man bei der 1) zeigen soll?

Die 2) und 3) sind dann noch überfällig.. verwirrt

verwirrt

Aggi

19.01.2015, 00:51

wopi

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im Prinzip kannst du einfach folgendes hinschreiben:

da die drei Vektoren v1...v3 linear unabhängig sind bilden sie im R3 eine Basis, erzeugen also eindeutig den ganzen R3.
Die zugehörige Matrix ist regulär (Determinante <>0), besitzt also eine Inverse, was die Injektivität und die Surjektivität sichert.

Wie mein 'Vorredner schon schrieb': Man weiß ncht, was ihr in der Vorlesung behandelt habt!

LG

19.01.2015, 00:55

wopi

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2) hast du doch gerade gelöst!

3) HABE ICH DIR GERADE HINGESCHRIEBEN smile

smile

19.01.2015, 01:13

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@wopi
Bitte nicht schreien, das ist unhöflich! Großbuchstaben bedeuten dies!
---------------

Vieleicht noch etwas zu der linearen Unabhängigkeit (ohne Determinante):

Es soll die lineare Unabhängigleit der Spaltenvektoren (v1, v2, v3) gezeigt werden:

Auf Grund der Definition der linearen Un- bzw. Abhängigkeit schreiben wir

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
--------------------------------

Dieses System ist eindeutig erfüllt, wenn alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gleich Null sind, es gibt nur die triviale Lösung, also sind die Vektoren lin. unabh.

19.01.2015, 09:04

Agnes96

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Zitat:

Original von mYthos
Es soll die lineare Unabhängigleit der Spaltenvektoren (v1, v2, v3) gezeigt werden:

Auf Grund der Definition der linearen Un- bzw. Abhängigkeit schreiben wir

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun bei mir ist es aber doch gleich einer Konstanten wenn man die Notation mit den Lambdas verwendet. Also ist's
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = b_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = b_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3 = b_3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mYthos
Dieses System ist eindeutig erfüllt, wenn alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gleich Null sind, es gibt nur die triviale Lösung, also sind die Vektoren lin. unabh.

Wie kreierst du die Nullen auf der rechten Seite? Wenn dort wirklich Nullen sind, dann sehe ich die lineare Unabhängigkeit andernfalls, leider nicht.

Zum 3) Aufgabenteil zu dem wopa

Zitat:

Original von wopi
zu 3)
T ist eine Zuordnung, die jedem Vektor aus R3 irgendeinen Vektor aus R3 zuordnet.
Diese Zuordnung ist injektiv, wenn durch T jedem Vektor ein anderer Vektor zugeordnet wird.
Du musst dir überlegen, ob das der Fall ist!

Subjetivität von Vektoren gibt es nicht!
Gemeint ist wohl Surjektivität.

Die Zuordnung T ist surjektiv, wenn jeder Vektor aus R3 durch T tatsächlich einem anderen Vektor zugeordnet wird.

Zum 3) Aufgabenteil habe ich in meinem Beitrag Nr. 3 vom 15.1.2015 um 12:00 Uhr genau die Definition aus der Vorlesung benutzt. Das wird ja mehr oder weniger von wopa paraphrasiert. Ich kann jedoch und weiß nicht wie woran ich erkenne, ob es mindestens, höchstens oder genau einen Lösungsvektor gibt.

Aggi

19.01.2015, 12:36

mYthos

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@Agnes
Nachdem du gesagt hast, dass dir die Determinantenmethode (die in der Tat einfach ist) zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit nicht bekannt ist bzw. (noch) nicht im Unterricht zur Kenntnis gebracht wurde, kann man sich an die ursprüngliche Definition halten:

Wir wollen jetzt nur die drei gegebenen v-Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen.
In einer Linearkombination von linear unabhängigen Vektoren wird nur dann der Nullvektor entstehen, wenn alle Multiplikatoren (lambdas) gleich Null sind, d.h. das durch die Linearkombination bestimmte Gleichungssystem hat ausschließlich die triviale Lösung.
Die Nullen auf der rechten Seite habe ich nicht "kreirt", sondern diese sind die Komponenten des Nullvektors.

Die Relation

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist eine triviale Relation, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \lambda_3 = 0, \ \to \ \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , wie man schnell berechnen kann.

Um nichts anderes ging es zunächst.

mY+

19.01.2015, 13:57

Agnes96

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Dann setzt man das Gleichungssystem gleich dem Nullvektor, ja dann ist's klar, dass es linear Unabhängig ist. Der Nullvektor ist dann sozusagen der in fer Aufgabenstellung bezeichnete b-Vektor, richtig?
Ich bräuchte noch ein wenig Input zu den anderen Teilaufgaben.

Mein größtes Problem ist erstmal den Bezug zur Aufgabenstellung zu finden und das Problem aufzugreifen um es dann zu lösen.

Wie schon in einem meiner vorigen Beitragen erwähnt würde ich sagen, dass es bijektiv ist da nur eine Lösung existiert. (3) Aufgabenteil) aber das ist nur Vermutung anhand der 1) und ich glaube mit der 2) findet man auch die Lösung zur 3), aber wie?

Für jede Aufklärung und Korrektur meiner Vermutungen bin ich dankbar!

Aggi

19.01.2015, 14:15

mYthos

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Der b-Vektor nimmt zwar (im Sinne der Linearkombination) dieselbe Stelle wie der Nullvektor ein, ist aber danach etwas gänzlich anderes.
Denn die b-Komponenten bestimmen dann die "Koordinaten", das sind die Multiplikatoren x1, x2, x3 (ganz ähnlich wie bei den lambdas) des von T festgelegten Koordinatensystems, die du ja auch bereits richtig berechnet hast.
Darauf wollte wopi ja so ausdrücklich hinweisen.

Ich habe mich eigentlich nur wegen der Großbuchstaben von wopi eingebracht und bei der Gelegenheit die unerledigte Frage der linearen Unabhängigkeit der gegebenen Vektoren beantwortet.

Normalerweise greift -im Sinne des Bardprinzips - ein neuer Helfer nicht grundlos ein, wenn bereits ein anderer (andere) in dem Thread aktiv sind. Deshalb mögen deine anderen Fragen zunächst von diesen beantwortet werden, weils sie auch schon von ihnen behandelt wurden.

Falls die Problematik bestehen bleibt, werden die unerledigten Fragen, soweit möglich, gerne abgeklärt, denn der Thread wird beobachtet.

mY+

19.01.2015, 14:21

Agnes96

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Okay verstehe aber wenn man jetzt gleichzeitig on ist kann man die letzte Teilaufgabe auch klären, man weiß ja auch nicht wenn und ob die anderen helfenden Personen wieder in Aktion treten.

Aggi

20.01.2015, 01:11

mYthos

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Lies bitte nochmals die Posts von Complexi und wopi, dort wurde dies mit wenigen Worten treffend erklärt.
Wenn dir noch etwas unklar ist, schreibe bitte genauer, was es ist und wo es bei dir hakt!
Wir werden versuchen, dies zu klären.

mY+

20.01.2015, 08:53

Agnes96

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Agnes96
Nein wir haben Determinanten noch nicht behandelt. Wir haben nur erwähnt wann ein solches LGS einen Lösungsvektor hat, also wann stets mindestens einen (surjektiv), höchstens einen (injektiv) und genau einen (bijektiv) zu $\begin{eqnarray*} \vec{w} \in R^m \text{ mit } \vec{f} : R^n \rightarrow R^m \text{ und } \vec{w} \in R^m \end{eqnarray*}$ Und das verstehe ich nicht.

Ich habe geschrieben, dass Determinanten nicht vorkamen bis dato. Bis her kam die allgemeine Definition eines Vektorraumes mit vorgegebenem Skalarbereich, Untervektorräume, Lineare Vektorraumabbilungen und lineare Gleichungssysteme, Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar, Multiplikation zweier Matrizen, Einheitsmatrix, Diagonalmatrix. Das fällt mir so alles ein.

Zitat:

Original von wopi
da die drei Vektoren v1...v3 linear unabhängig sind bilden sie im R3 eine Basis, erzeugen also eindeutig den ganzen R3.
Die zugehörige Matrix ist regulär (Determinante <>0), besitzt also eine Inverse, was die Injektivität und die Surjektivität sichert.

Nun ich habe die genaue Definition für Injektivität und Subjektivität , sowie Bijektivität angegeben. Jetzt wird mit der Determinante argumentiert. Bei Funktionen bedeutete Bijektivität die Zusammensetzung aus Injektivität + Surjektivität, ist das jetzt auch so?
Also dass die Vektoren linear unabhängig sind, gut wenn das erfüllt ist bilden sie eine Basis, jedoch reicht und fehlt mir noch was zu der Begründung für die 3) das kann es doch nicht gewesen sein? Wie argumentiere ich wie viele Lösungsvektoren es gibt?

Sprich zu $\begin{eqnarray*} \vec{w} \in R^m \end{eqnarray*}$ gibt es wie viele Lösungsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{z} \in R^n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B \cdot \vec{z} = \vec{w} \end{eqnarray*}$ ? Injektivität und Surjektivität "sei gesichert". Also es existiert mindestens ein Lösungsvektor und höchstens ein Lösungsvektor, das hebt sich ja irgendwie auf, wopi Antwort basierte auf der Inversen und der ungleichen Determinante und naja darauf sollte ja die Antwort nicht basieren, zudem verstehe ich's nicht, weil wir's noch nicht hatten.

Aggi

20.01.2015, 09:35

Complexi

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Surjektivität bedeutet hier die Surjektivität von T, also ob es für jeden Vektor b aus dem $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ x gibt, so dass T(x)=b. Injektivität bedeutet, dass es höchstens ein solches x gibt. Bijektivität ist die Kombination. Es werden also die Definitionen für Funktionen verwendet.

Die Lösung ist dann eindeutig, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem nur die triviale Lösung x=0 besitzt. Das heißt gerade, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

20.01.2015, 12:55

Agnes96

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Das heißt, dass es genau einen Lösungsvektor gibt. Ich kann mir das aber nicht klarmachen irgendwie. Könnten wir vielleicht eine Runde mit einem Beispiel jeweils für jeden Fall starten, vielleicht wird es dann klarer für mich. Es gibt ja "nur" die drei Fälle.

Danke euch, wirklich für die Hilfe!

Agnes

20.01.2015, 13:59

Complexi

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Ein Beispiel, in dem die Lösung entweder nicht eindeutig ist oder nicht existiert, ist

$\begin{eqnarray*} x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier gibt es offenbar für das homogene Gleichungssystem z.B. die Lösung $\begin{eqnarray*} x_1=1, x_2=1, x_3=-1 \end{eqnarray*}$ . Die Vektoren sind also nicht linear unabhängig. Anschaulich können die drei Vektoren nur zu Vektoren kombiniert werden, die in der x-y-Ebene liegen (also z-Komponente 0 haben). Dann kommt es auf den b-Vektor an, ob das Gleichungssystem lösbar ist oder nicht. Offenbar lässt sich das Gleichungssystem also für $\begin{eqnarray*} b_3 \neq 0 \end{eqnarray*}$ niemals lösen. Dagegen lassen sich alle b-Vektoren in der x-y-Ebene (also mit $\begin{eqnarray*} b_3=0 \end{eqnarray*}$ ) auf vielfältige Weise erreichen, da man z.B. jeweils eine x-Komponente 0 setzen und diesen b-Vektor mithilfe der restlichen x-Komponenten kombinieren kann.

Anschaulich müssen die drei Vektoren Koordinatenachsen bilden, die so in verschiedene Richtungen zeigen, dass man Punkte im ganzen Raum damit erreichen kann. Dann sind sie linear unabhängig. In zwei Dimensionen ist das besonders anschaulich: Man muss auf seiner Reise zu einem Punkt in der Ebene zunächst solange entlang der Richtung des ersten Vektors gehen, bis man an eine Stelle kommt, von der aus eine Verlängerung des zweiten Vektors zum Ziel "zeigt". Wenn man etwas zu weit oder nicht weit genug entlang des ersten Vektors geht, dann wird man sein Ziel nicht erreichen.

20.01.2015, 14:26

Complexi

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PS: Wenn andere auf Rückfragen antworten möchten, gern!

21.01.2015, 01:58

Agnes96

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Okay ich versuche mal eine Art "Musterlösung" zur erstellen:

1)
Zuerst prüfe ich das LGS auf lineare Unabhängigkeit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus den dritten Zeile folgt:
$\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Aus der zweiten Zeile folgt:
$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt in die erste Zeile liefert auch für $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Es existiert also nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ daher sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

2)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach dem Auflösen erhält man:
$\begin{eqnarray*} x_2=b_2 \text{ und } x_3=b_3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_1 = b_1 -3b_2 + b_3 \end{eqnarray*}$

3) Die Lösung ist dann eindeutig und bijektiv, wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem nur die Lösung $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ besitzt. Das heißt gerade, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Zudem existiert ja außerdem die Inverse und ist identisch mit der "Ausgangsmatrix"

Nun die Inverse hatten wir jetzt gestern auch in der Vorlesung, also das Kriterium für Bijektivität, bisschen spät meines Erachtens. Ich tue mich noch schwer bei der Findung der richtigen Worte und bei dem korrekten Aufschreiben des Lösungsvektor's bei 2).

Geht sowas? $\begin{eqnarray*} \vec{L} = \begin{pmatrix} b_1 -3b_2 + b_3 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aggi

PS: Gute Nacht vielleicht schlafe ich mal jetzt ein unglücklich

unglücklich

21.01.2015, 02:43

mYthos

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Sieht so weit gut aus, .. Traum meiner schlaflosen Nächte Big Laugh

Big Laugh

, gut dass ich heut' Nachtschicht habe.
--------------
Die inverse Matrix existiert zwar, aber sie ist nicht identisch mit der Ausgangsmatrix (allerdings fast, bei 3 und -1 sind nur die Vorzeichen vertauscht)
Man merkt auch, multipliziert man sie mit sich selbst, so erhält man nicht die Einheitsmatrix.

mY+

21.01.2015, 08:58

Agnes96

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Zitat:

Original von mYthos
Die inverse Matrix existiert zwar, aber sie ist nicht identisch mit der Ausgangsmatrix (allerdings fast, bei 3 und -1 sind nur die Vorzeichen vertauscht)
Man merkt auch, multipliziert man sie mit sich selbst, so erhält man nicht die Einheitsmatrix.

Ja das stimmt natürlich, mein Fehler sry.

Zitat:

Original von mYthos
Sieht so weit gut aus, .. Traum meiner schlaflosen Nächte Big Laugh

Big Laugh

, gut dass ich heut' Nachtschicht habe.

Haha

Big Laugh

so schlimm? Ich gebe mir doch Mühe, ich arbeite daran, dass mein winziges Erbsenhirnlein auch bisslchen wächst smile

smile

Dank Dir und den anderen ist es vllt wenige yoktonstel gewachsen haha

Zitat:

Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ in eindeutiger Weise durch einen Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathcal{R}^3 \end{eqnarray*}$ wie folgt darstellen lässt:

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{T}(\vec{x}) := x_1 \vec{v_1} + x_2 \vec{v_2} + x_3 \vec{v_3} \end{eqnarray*}$

Muss ich nicht noch was dazuschreiben? Nur das Zeigen der linearen Unabhängigkeit erscheint mir in einer Musterlösung wenig. Bei 2) genauso.

Aggi

21.01.2015, 12:51

Complexi

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Du könntest noch schreiben, dass drei linear unabhängige Vektoren immer eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bilden, also ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren (das ist ein Ergebnis der Theorie). Seien x, x' verschiedene Darstellungen von b, so folgt T(x-x')=b-b=0, also x-x'=0 wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren. Damit ist die Darstellung eindeutig.

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