Nichtausgeartete (anti-)symmetrische Bilinearform

15.01.2015, 16:33

Widderchen

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Nichtausgeartete (anti-)symmetrische Bilinearform

Meine Frage:
Hallo,

Es sei b eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine nicht ausgeartete antisymmetrische Bilinearform auf einem endl. dimensionalen reellen Vektorraum V.
Zeige, dass es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} j: V -> V \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} b (v,w) = \omega (v , j(w)) \end{eqnarray*}$

zeige, dass $\begin{eqnarray*} j ° j = -id_{V} \end{eqnarray*}$ ist
und dass V durch die Festlegung

$\begin{eqnarray*} (x + iy) \cdot v = x \cdot v + y \cdot j(v) \end{eqnarray*}$

zu einem komplexen vektorraum wird.

Meine Ideen:
b ist nicht ausgeartet und symmetrisch, das heißt also

$\begin{eqnarray*} b(v,w) = b(w,v) \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$ (Symmetrie)

und heißt nicht ausgeartet, wenn der Ausartungsraum nur durch den Nullvektor bestimmt ist.

$\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls nichtausgeartet , allerdings antisymmetrisch, das bedeutete doch

$\begin{eqnarray*} \omega (v , w) = - \omega (w , v) \end{eqnarray*}$

Ist die definition der antisymmetrie so richtig???
Ich habe grundsätzlich Probleme damit, die Existenz eines mathematischen Objektes (hier: also einer linearen abbildung j) nachzuweisen, so dass eine bestimmte Bedingung erfüllt wird.

Mein algebra-dozent hatte zum Schluss einige Defitionen aufgestellt, z.B.:
(i) Es sei b eine (anti-)symmetrische bilinearform auf V und f:V -> V ein Endomorhismus.
Die adjungierte Abbildung f* : V -> V ist definiert durch

$\begin{eqnarray*} b(f^{*_{b}}(v),w) = b (v , f(w)) \,\,\, \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann ich irgendetwas mit dieser Definition bewirken??

Viele Grüße
Widderchen

15.01.2015, 22:46

Widderchen

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Kann mir niemand bei diesem Problem behilflich sein???

Ich kann die vorgegebenen Bedingungen einfach nicht miteinander kombinieren. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Viele Grüße
Widderchen

16.01.2015, 13:44

Elvis

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Lässt sich da etwas über Matrizen machen ? Bei gegebener Basis von V gibt es zu jeder linearen Abbildung eine Darstellungsmatrix, und auch Bilinearformen hängen "irgendwie" mit Matrizen zusammen. Möchtest du nochmal im Skript deiner Vorlesung nachforschen ? Einen Zusammenhang mit der adjungierten Abbildung sehe ich nicht (woraus man nicht schließen kann, dass es keinen gibt).

16.01.2015, 14:07

Widderchen

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Hallo Elvis,

eine Bilinearform b(v,w) lässt sich über die Gramsche Matrix B´ $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> b(v,w) = x^{t} \cdot B_{Gram} \cdot y \,\,\, , B_{Gram} = T^{t} \cdot B \cdot T \end{eqnarray*}$

wobei T die Übergangsmatrix von der alten zur neuen Basis ist, x der Koordinatenvektor von u, y der koordinatenvektor von w ist, darstellen für alle v,w aus dem Vektorraum V. Ich hoffe, das stimmt soweit.

Aber wie sieht es für antisymmetrische Bilinearformen aus? Ich habe irgendwie den Eindruck, dass ich die lineare Abbildung j aus der antisymmetrischen Bilinearform
$\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ "herausziehen" kann. Aber ich kann mich auch irren. Soll ich einafch so tun, als existiere die lineare abbildung j und dann diese Bilinerform ausrechnen????

Viele Grüße
Widderchen

16.01.2015, 18:17

Elvis

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Die darstellende Matrix einer Bilinearform auf $\begin{eqnarray*} einem \end{eqnarray*}$ Vektorraum V mit $\begin{eqnarray*} einer \end{eqnarray*}$ Basis B muss noch einfacher sein. Siehe z.B. Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform

Symmetrie und Antisymmetrie wird sich vermutlich auf diese darstellende Matrix auswirken. Auch die gesuchte lineare Abbildung j ist ein Endomorphismus auf V, seine Darstellung sollte dieselbe Basis B nutzen. Ich hoffe, dass diese Idee zu etwas gut ist ... verwirrt

verwirrt

16.01.2015, 18:47

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Weil man hier keine Basis wechselt, ist in der Tat T=I die Einheitsmatrix.
Und ja, die Idee funktioniert: Unter Verwendung einer Basis und darstellenden Matrizen für $\begin{eqnarray*} b, \omega, j \end{eqnarray*}$ bekommt man aus $\begin{eqnarray*} b (v,w) = \omega (v , j(w)) \end{eqnarray*}$ eine Matrixgleichung, die man - nach einer Begründung bzgl. Invertierbarkeit - nach der Darstellungsmatrix von j auflösen kann.

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16.01.2015, 19:13

Widderchen

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Ok, dann habe ich bei der Definition der Bilinearform wohl ein paar Matrizen zu viel eingeführt! Big Laugh

Big Laugh

Und die Koordinatendarstellung brauche ich gemäß Wikipedia auch nicht, da ich auf ein und demselben IR - Vektorraum operiere. Damit ist nur eine Basis erforderlich.

Zusätzlich benötige ich die Gramsche Matrix gar nicht, sondern nur die Basistransformationsmatrix T. Warum ist T die Einheitsmatrix?? Ok, angenommen, dem ist so, dann ergibt sich daraus:

$\begin{eqnarray*} \omega (v , j(w)) = v^{t} \cdot E_{n} \cdot j(w) = (v_{1},...,v_{n}) \cdot \begin{pmatrix} a_{1,1} w_1 + ... + a_{1,n} w_n \\ a_{2,1} w_1 +...+ a_{2,n} w_n \\...\\ a_{n,1} w_1 +...+ a_{n,n} w_n \end{pmatrix} = v_{1} \cdot (a_{1,1} w_1 + ... + a_{1,n} w_n) +...+ v_{n} \cdot (a_{n,1} w_1 + ... + a_{n,n} w_n) \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle weiß ich nicht weiter. Wie nutze ich die Antisymmetrie von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ an dieser Stelle aus?? Die EInträge $\begin{eqnarray*} a_{i,j} i, j \in {1,...,n} \end{eqnarray*}$ sind die Einträge der darstellenden Matrix A des Endomorphismus j.

Viele Grüße
Widderchen

16.01.2015, 19:47

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Schau dir an, was du da geschrieben hast:
$\begin{eqnarray*} \omega (v , j(w)) = v^{t} \cdot E_{n} \cdot j(w) = (v_{1},...,v_{n}) \cdot \begin{pmatrix} a_{1,1} w_1 + ... + a_{1,n} w_n \\ a_{2,1} w_1 +...+ a_{2,n} w_n \\...\\ a_{n,1} w_1 +...+ a_{n,n} w_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Vektoren $\begin{eqnarray*} v,w,j(w) \end{eqnarray*}$ sind Elemente des abstrakten Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Was verstehst du denn unter $\begin{eqnarray*} v_i, w_j \end{eqnarray*}$ und unter dem Produkt mit einer Matrix?

Zitat:

Und die Koordinatendarstellung brauche ich gemäß Wikipedia auch nicht, da ich auf ein und demselben IR - Vektorraum operiere. Damit ist nur eine Basis erforderlich.

Genau aus diesem Irrtum erwächst der obige Unsinn. Denk nochmal darüber nach, was es bedeutet, eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\to V \end{eqnarray*}$ einzuführen und wie $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ zusammen hängen und warum man eine Basis und die Koordinatendarstellung braucht, um überhaupt von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ zum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Zitat:

Zusätzlich benötige ich die Gramsche Matrix gar nicht, sondern nur die Basistransformationsmatrix T. Warum ist T die Einheitsmatrix??

Wenn du von einer Basis B zu der gleichen Basis B wechselst, dann ist die Übergangsmatrix die Einheitsmatrix.
Ebenso gut kannst du sagen, du machst keinen Basiswechsel. Ich wollte dir nur ermöglichen, deine Formel $\begin{eqnarray*} B_{Gram} = T^{t} \cdot B \cdot T \end{eqnarray*}$ zu verwenden.

Wie du darauf kommst, ohne Gramsche Matrix auszukommen, ist mir ein Rätsel.
Wo wäre denn dann in deiner Formel das B geblieben?

Schließlich und endlich ist es nicht geschickt, mit den Einträgen der darstellenden Matrix von j zu operieren. Besser wäre es, bei $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ zu bleiben.

16.01.2015, 20:17

Widderchen

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Na schön,

dann muss ich in meiner aufgestellten Gleichung die Einheitsmatrix durch die Matrix B ersetzen, da die Gramsche Matrix $\begin{eqnarray*} B_{Gram} = E_{n} \cdot B \cdot E_{n} = B \end{eqnarray*}$ lautet. Die Abbildung f entsteht ja gerade (aufgrund der Kommutativität des Diagramms zwischen IR^n und dem IR-Vektorraum V) durch Verknüpfung der inversen Transformationsmatrix T^(-1) mit der darstelllenden Matrix A und erneute Verknüpfung mit T. Bei der Bildung der Gramschen Matrix wählt man die transponierte Matrix, welche in unserem Fall ebenfals die Einheitsmatrix ist.

Selbst wenn ich dann nur mit der Matrix B weiterarbeite, erhalte ich bei Bildung dieser antisymmetrischen Bilinearform omega doch eine Verknüpfung der Matrix B mit dem Endomorphismus j. Und j kann ich wohl analog zu B als Verkettung geeigneter Matrizen darstellen, in welcher auch dann die Darstellungsmatrix von j enthalten ist. Aber daraus resultiert doch letztlich ein noch größerer, ich drücke es mal vulgär aus, "Koeffizientensalat" aus dem Körper K = IR.
Oder irre ich mich?

Viele Grüße
Widderchen

16.01.2015, 20:57

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Du irrst nicht, wenn man es ungeschickt macht.
Momentan hast du folgendes erreicht: $\begin{eqnarray*} \omega(v,r)=x^TBy \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ die Koordinatenvektoren von $\begin{eqnarray*} v,r\in V \end{eqnarray*}$ sind.
Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} j(w) \end{eqnarray*}$ ersetzten und überlegen, wie man den Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} j(w) \end{eqnarray*}$ durch den Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ und die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ darstellt. Dazu muss man keinen Koordinatensalat anrichten.

16.01.2015, 21:46

Widderchen

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Also wenn y der Koordinatenvektor von j(w) ist, dann ist der Koordinatenvektor von w , ich nenne ihn mal z:

$\begin{eqnarray*} z = A^{-1} \cdot S^{-1} \cdot j(w) \end{eqnarray*}$

Ich habe das kommutative Diagramm "rückwärts" gelesen. Dabei sind A die darstellende Matrix von j, die dann invertierbar sein muss, wie du es auch im vorigen Post angedeutet hattest, und S ist die Übergangsmatrix von IR^n zu V, die j(w) auf y abbildet. Kann es sein, dass ich die transponierte Matrix $\begin{eqnarray*} S^{t} \end{eqnarray*}$ betrachten muss und nicht S^{-1} ???

Seufz, ich hoffe das stimmt so weit. Ansonsten weiß ich wirklich nicht weiter. Gilt denn nicht

$\begin{eqnarray*} y = A \cdot z \end{eqnarray*}$ ???? Denn die Matrix A bildet doch den Koordinatenvektor von w auf den Koordinatenvektor von j(w) ab.

Dann würde ich erhalten, was wohl auch falsch ist: $\begin{eqnarray*} \omega (v,r) = x^{t} B y = x^{t} B A z = ... \end{eqnarray*}$

Widderchen

16.01.2015, 21:56

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$\begin{eqnarray*} y = A z \end{eqnarray*}$ ist richtig, dann aber besser $\begin{eqnarray*} \omega (v,j(w)) = x^{t} B y = x^{t} B A z \end{eqnarray*}$ .
Was du geschrieben hast, ist richtig, denn wir haben $\begin{eqnarray*} r=j(w) \end{eqnarray*}$ gesetzt, aber so wie ich es aufgeschrieben habe, können wir es gleich brauchen.

Jetzt hast du die rechte Seite von $\begin{eqnarray*} b (v,w) = \omega (v , j(w)) \end{eqnarray*}$ , fehlt noch die linke.
Aber das ist auch eine Bilinearform, und wie man die darstellt, hast du bei $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gerade geübt.

16.01.2015, 22:14

Widderchen

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Ok,

also die Bilinearform auf der linken Seite kann, analog zum vorigen Fall, über die Koordinatenvektoren von v und w, also über x und z , sowie die Matrix B ausgedrückt werden, das heißt also:

$\begin{eqnarray*} b(v,w) = x^{t} B z \end{eqnarray*}$

Also wenn das soweit stimmt, muss ich nur noch die Darstellungsmatrix von j, also A, in diesen Ausdruck einbauen. Allerdings weiß ich nicht wie.

Einen Moment, sind die Koordinatenvektoren von v und w bzgl. der Bilinearform b eigentlich dieselben wie die bzgl. omega??? Ansonsten müsste ich doch andere Koordinatenvektoren von v und w wählen.

16.01.2015, 23:02

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Zitat:

sowie die Matrix B ausgedrückt werden, das heißt also:
$\begin{eqnarray*} b(v,w) = x^{t} B z \end{eqnarray*}$

Wie um alles in der Welt kommst du denn nun auf die Idee, dass es für die gänzlich andere Bilinearform $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die gleiche Matrix ist wie für $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Also wenn das soweit stimmt, muss ich nur noch die Darstellungsmatrix von j, also A, in diesen Ausdruck einbauen. Allerdings weiß ich nicht wie.

und warum willst du das denn nun wieder? Siehst du in $\begin{eqnarray*} b(v,w) \end{eqnarray*}$ irgendwo ein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Einen Moment, sind die Koordinatenvektoren von v und w bzgl. der Bilinearform b eigentlich dieselben wie die bzgl. omega??? Ansonsten müsste ich doch andere Koordinatenvektoren von v und w wählen.

Natürlich sind es die gleichen. Sie hängen doch nur von der Basis des Vektorraumes ab und haben überhaupt nichts mit der Biliearform zu tun geschockt

geschockt

16.01.2015, 23:38

Widderchen

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Dann muss ich B eben durch eine andere Matrix ersetzen, aber welche?

Ich möchte nun wirklich nicht, dass diese Situation hier aufgrund meines Unvermögens, eine womöglich fast triviale Identität zu beweisen, "eskaliert".

Alternativ würde ich dich einfach um eine Lösung dieses Problems bitten, da ich an dieser Stelle einfach scheitere, den Beweis dieser Aussage zu Ende zu führen. Ich würde mir dann die Beweisskizze ansehen und ggf. Fragen an dich oder an jemand anderen stellen, um Unklarheiten zu beseitigen.

Viele Grüße
Widderchen

17.01.2015, 00:14

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So einfach gibt's hier keine Lösung Big Laugh

Big Laugh

Jetzt sind wir schon fast da, das schaffen wir jetzt auch noch.

Also mit ein bisschen mehr Anlauf: Einer linearen Abbildung wird auf bekannte Weise eine Matrix zugeordnet.
Man wählt eine Basis $\begin{eqnarray*} c_1,\ldots c_n \end{eqnarray*}$ des Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , schreibt jedes Bild $\begin{eqnarray*} f(c_i) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Basisvektoren und notiert die dabei auftretenden Koeffizienten in der Spalte i einer Matrix. Diese Matrix ist - bei gegebener Basis des Vektorraums - eindeutig bestimmt. Zu einer anderen linearen Abbildung gehört eine andere Matrix. Lineare Abbildung und Matrix bestimmen sich gegenseitig eindeutig.

Bei Bilinearformen ist das ganz ähnlich Man wählt eine Basis $\begin{eqnarray*} c_1,\ldots c_n \end{eqnarray*}$ des Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und ordnet der Bilinearform $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ jetzt allerdings die Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit den Elementen $\begin{eqnarray*} M_{ij}=b(c_i,c_j) \end{eqnarray*}$ zu. Diese zugeordnete Matrix - die Gramsche-Matrix - ist eindeutig bestimmt. Matrix und Bilinearform bestimmen sich gegenseitig eindeutig. Mit der so definierten Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} b(v,w)=x^TMz \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x,z \end{eqnarray*}$ die Koordinatenvektoren von $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ sind.

Zurück zur Aufgabe: $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist die Gramsche-Matrix von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ . Deswegen gilt ja auch $\begin{eqnarray*} \omega(v,r)=x^TBy \end{eqnarray*}$ . Wenn du also $\begin{eqnarray*} b(v,w) \end{eqnarray*}$ analog beschreiben willst, musst du die Gramsche-Matrix von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nehmen. Ich bleibe bei obiger Notation, also $\begin{eqnarray*} b(v,w)=x^TMz \end{eqnarray*}$

Und jetzt darfst du alles, was wir bisher zusammengetragen haben, in die Gleichung $\begin{eqnarray*} b (v,w) = \omega (v , j(w)) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

17.01.2015, 07:39

tmo

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Warum betrachtet ihr nicht die lineare Abbildung

$\begin{align*} \operatorname{Hom}(V,V) \to \operatorname{Bil}(V \times V, k), ~ j \mapsto [(v,w) \mapsto \omega(v,j(w))] \end{align*}$

? verwirrt

verwirrt

Die Dimension von $\begin{align*} \operatorname{Hom}(V,V) \end{align*}$ sollte klar sein, die von $\begin{align*} \operatorname{Bil}(V \times V, k) \end{align*}$ auch, wenn man sich erinnert, dass die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts besagt, dass $\begin{align*} \operatorname{Bil}(V \times V, k) = (V \otimes V)^* \end{align*}$ gilt.

Lange Rede, kurzer Sinn: Die obige Abbildung ist wegen der Nichtausgeartetheit injektiv, also surjektiv, da die Dimensionen gleich sind. Details bleiben überlassen. Ist aber nicht mehr viel übrig.

Vom algebraischen Standpunkt sieht das ganze so aus:

Eine Bilinearform $\begin{align*} \omega \end{align*}$ induziert eine Abbildung $\begin{align*} V \to V^*, ~ w \mapsto [v \mapsto \omega(v,w)] \end{align*}$ , die genau dann injektiv ist, wenn die Bilinearform nicht ausgeartet ist. Im Endlichdimensionalen ist es dann somit ein Isomorphismus.
Umgekehrt liefert jedes Element $\begin{align*} \phi \in \operatorname{Hom}(V,V^*) \end{align*}$ vermöge $\begin{align*} (v,w) \mapsto \phi(w)(v) \end{align*}$ eine Bilinearform. Offensichtlich sind die beiden Konstruktionen invers zueinander, wir haben als einen natürlichen Isomorphismus $\begin{align*} \operatorname{Hom}(V,V^*) \cong \operatorname{Bil}(V \times V, k) \end{align*}$ .

Ist nun eine nichtausgeartete Bilinearform vorgegeben, so betrachten wir den entsprechenden Iso $\begin{align*} V \to V^* \end{align*}$ . Anwenden $\begin{align*} \operatorname{Hom}(V,-) \end{align*}$ liefert dann einen Isomorphismus

$\begin{align*} \operatorname{Hom}(V,V) \to \operatorname{Hom}(V,V^*) \end{align*}$ .

Vermöge dem natürlichen Isomorphismus $\begin{align*} \operatorname{Hom}(V,V^*) \cong \operatorname{Bil}(V \times V, k) \end{align*}$ ist das genau obige Abbildung.

(Für die Lösung der Aufgabe sind die letzten Zeilen natürlich erstmal irrelevant)

17.01.2015, 11:01

Elvis

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Das ist auch gut, danke. Ich habe Widderchen für einen Anfänger gehalten und deshalb versucht, möglichst elementar zu argumentieren. Da bietet sich für mich die Matrixdarstellung von Bilinearformen und linearer Abbildung an.

17.01.2015, 11:08

tmo

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Nunja, ich finde den Nachweis der Injektivität von

$\begin{align*} \operatorname{Hom}(V,V) \to \operatorname{Bil}(V \times V, k), ~ j \mapsto [(v,w) \mapsto \omega(v,j(w))] \end{align*}$

deutlich einfacher, als sich durch den Matrizensumpf zu kämpfen.

Koordinatenfreie Lösungen sind generell eigentlich immer wünschenswerter. Alles, was ohne Wahl einer Basis geht, sollte man auch ohne Wahl einer Basis machen.

17.01.2015, 22:21

Widderchen

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Hallo,

an tmo: die von dir beschriebene Abbildung ordnet also jedem Endomorphismus j : V -> V eine Bilinearform zu, das klingt für mich plausibel. Um die Injektivität zu zeigen, muss ich also zeigen, dass zwei verschiedene Homomorphismen j und m verschiedene Bilder $\begin{eqnarray*} \kappa (j) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \kappa (m) \end{eqnarray*}$ besitzen, wobei $\begin{eqnarray*} \kappa : Hom(V,V) -> Bil(V x V, K) \end{eqnarray*}$ . Warum genügt es eigentlich, nur die Injektivität zu zeigen??? Vielleicht um zu zeigen, dass es dann ein Isomorphismus ist und damit die Existenz einer inversen Abbildung nachzuweisen?? So habe ich deinen Post verstanden.

Aber bei solch einer für mich komplizierten Abbildung wird es mir höchstwahrscheinlich nicht gelingen, die Injektivität zu zeigen, (auch wenn der Beweis leicht sein soll) da - wie Elvis schon richtig vermutet hat - ich ein blutiger Anfänger auf dem Gebiet der linearen Algebra bin.

Zurück zu dem von URL geschilderten Ansatz. Ich bin jetzt bei:

$\begin{eqnarray*} b(v,w) = x^{t} M z = x^{t} B y = \omega (v, j(w)) \end{eqnarray*}$

wobei die zweite Gleichheit noch gezeigt werden muss. Das heißt ich muss noch

$\begin{eqnarray*} M \cdot z = B \cdot y \end{eqnarray*}$ nachweisen.

Aber M und B sind doch verschiedene Gram-Matrizen bzgl. zweier verschiedener Bilinearformen. Kann ich diese Matrizen irgendwie in Zusammenhang bringen???? A ist die darstellende Matrix von j und bildet den Koordinatenvektor z von w auf den Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} y = A \cdot z \end{eqnarray*}$ von j(w) ab. Vielleicht kann ich das irgendwie verwenden?

Viele Grüße
Widderchen

17.01.2015, 22:35

URL

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Setze $\begin{eqnarray*} y = A \cdot z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \cdot z = B \cdot y \end{eqnarray*}$ ein.

17.01.2015, 22:54

Widderchen

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Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \omega (v , j(w)) = x^{t} B y = x^{t} B A z = x^{t} M z = b(v,w) \end{eqnarray*}$

Also soll gelten :

$\begin{eqnarray*} M = B \cdot A \end{eqnarray*}$ (*)

Hm...die Gramsche Matrix der Bilinearform b erhalte ich also durch Verknüpfung bzw. durch Matrizenmultiplikation der Gramschen Matrix der antisymmetrischen Bilinearform $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ mit der darstellenden Matrix von j, also A. Ist damit die Gleichheit der beiden Bilinearformen endgültig bewiesen oder muss noch etwas berücksichtigt werden? Ich vermute, ich muss noch die Identität (*) begründen bzw. nachweisen.

18.01.2015, 18:47

Widderchen

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Hallo,

ich wollte euch fragen, ob die oben angegebene Identität $\begin{eqnarray*} M = B \cdot A \end{eqnarray*}$ noch zusätzlich erläutert werden muss. Oder ist diese Identität praktisch schon der Nachweis für die Existenz der linearen Abbildung j über ihre darstellende Matrix A???

Wenn dieser Nachweis genügt, wie zeige ich zusätzlich die anderen Teilprobleme, also dass

$\begin{eqnarray*} j ° j = -id_{V} \end{eqnarray*}$ gilt, sowie dass der IR-Vektorraum V mit der darauf definierten Multiplikationseigenschaft (siehe Anfangspost) zu einem komplexen Vektorraum erweitert werden kann??

Kann man die zweite Identität vielleicht über die erste Identität nachweisen? Dass die Identitätsabbildung ein negatives Vorzeichen besitzt, hängt das vielleicht irgendwie mit der Antisymmetrieeigenschaft der Bilinearform $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ zusammen??

Ich komme an dieser Stelle nicht weiter.

Viele Grüße
Widderchen

18.01.2015, 19:14

URL

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Bisher waren das alles Überlegungen, die davon ausgingen, dass es ein passendes j gibt.
Aus dieser Annahme folgte
$\begin{eqnarray*} \omega (v , j(w)) = x^{t} B y = x^{t} B A z = x^{t} M z = b(v,w) \end{eqnarray*}$ für alle x,z
Daraus folgt notwendig die Matrixidentität BA=M.
Jetzt muss du begründen, dass es tatsächlich ein A gibt, mit dem diese Gleichung erfüllt ist.
Das ist aber nicht schwer, denn B ist invertierbar, weil die Biliearform $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ nicht ausgeartet ist. Also ist $\begin{eqnarray*} A=B^{-1}M \end{eqnarray*}$ die gesuchte Matrix.

Beim Rest kann ich dir leider nicht helfen.

18.01.2015, 19:39

Widderchen

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Ah, ok, vielen Dank URL, jetzt ist mir die Identität und auch der Beweis dieser Aussage viel klarer geworden! Vielleicht kann mir jemand anders bei den anderen Problemen behilflich sein.

Bestimmt kann ich mit der Wahl dieser Matrix $\begin{eqnarray*} A = B^{-1} \cdot M \end{eqnarray*}$ die Abbildung j geeignet darstellen und dann mit sich selbst verknüpfen. Da das Diagramm kommutativ ist, existiert eine Übergangsmatrix - ich nenne sie mal einfach T - , sodass

$\begin{eqnarray*} j = T^{-1} \cdot A \cdot T \end{eqnarray*}$ , oder ?????

Ich hoffe, der Ansatz ist korrekt. Dann kann ich das in die Verknüpfung einsetzen, aber wie ist T festgelegt?? Vielleicht wird mir das auch nicht weiterhelfen.

Viele Grüße
Widderchen

19.01.2015, 11:48

Elvis

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Warum $\begin{eqnarray*} j^2=-id \end{eqnarray*}$ ist, weiß ich noch nicht. Ich würde jetzt nicht mehr mit Matrizen argumentieren, sondern versuchen, aus dem schon Bewiesenen die Aussage herzuleiten.
Dass ein solches $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j^2=-id \end{eqnarray*}$ "komplexe Struktur auf einem reellen Vektorraum" heißt, definiert A. Deitmar und beweist damit den letzten Teil deiner Aufgabe in LA II, 3. Stunde
( http://timmsrc.uni-tuebingen.de/Player/P...01_lineal2_0001 )

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