Lösungen von komplexer Gleichung

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squarepants Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen von komplexer Gleichung
Meine Frage:
Die Aufgabe lautet: z^3 = (1/Wurzel2) (i-1)

Geben Sie die Lösungsmenge L c (Teilmengensymbol) von C

Die Lösungen sollen dabei in Exponentialform ausgedrückt werden.
(alte Klausuraufgabe)

Meine Ideen:
Wenn ich die Gleichung vereinfache komme ich zu z^3 = 2i^-1/2 - 2^-1/2,
ob mir das jetzt was bringt weiß ich ehrlich gesagt nicht, die Gleichungen mit komplexen Zahlen die ich zuvor lösen musste waren einfacher gehalten und in unserem skript hab ich nichts gefunden was mir helfen kann.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere rechts aus, dann lautet der rechte Teil
Wie groß ist dessen Betrag? Danach bestimme auch noch dessen Winkel in der komplexen Ebene.
Damit kannst du diesen Term in Polarform schreiben ...

Hinweise: Einheitswurzeln, Moivre, Kreisteilungsgleichung

mY+
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich rechts ausmultipliziere erhalte ich...



Hier nochmal die Ausgangsform mit dem Formeleditor..



Edit (mY+):
Schön geschrieben, es fehlten nur noch die LaTeX-Tags.
LaTeX berichtigt.
Am besten markierst du die ganze Zeile und klickst dann auf f(x).
Links und rechts erscheinen dann die LaTeX-Tags [latex] bzw. [\latex]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gehe am Besten zur trigonometrischen Darstellung über:
Diese lautet allgemein:



r ist der Betrag der komplexen Zahl rechts, deren Winkel gegen die reelle Achse.

Nun muss auch etwas von dir etwas kommen. Ich möchte die Aufgabe nicht alleine weiter rechnen, denn dies widerspricht dem Boardprinzip.
Daher nochmals die Frage, wie lauten der Betrag und der Winkel?

Anmerkung: Zur Lösung ist aus dem Betrag die dritte Wurzel zu berechnen und der Winkel zu dritteln ...

mY+
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Also als Betrag erhalte ich



Die dritte Wurzel wäre dann ...

Wenn ich das in die trigonometrische Form setze sieht das so aus ...

Wenn ich dieses ganze Zeug nun ausrechne komme ich auf z = 1

Aber mir ist nicht so ganz klar wie ich so zu den 3 Lösungen komme, ich hab mir in einem youtube video angesehn wie sich all das auf dem gaußischen Koordinatensystem verhält, Beziehung zwischen cos,sin,|z|. Aber ich hab das Gefühl seh den Wald vor Bäumen nicht.
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Quatsch ich erhalte
Das i war mir auf der Strecke geblieben.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es sind mehr Bäume als Wald, da stimmt mal gar nichts, leider.
Überprüfe erst mal den Betrag, wie hast du diesen ausgerechnet? Jedenfalls ist er NICHT 1/2!

Zum Winkel (den Tipp habe ich dir schon gegeben), :

Vergleiche mit

Du solltest dann (wenn r richtig berechnet ist) mittels arccos bzw. arcsin den Winkel ermitteln können.
Alternativ geht dafür auch der arctan(b/a), wenn z = a + ib

mY+
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch mal nachgerechnet, den Betrag erhalte ich so...

jetzt erhalte ich... , stimmt das? Wenn ich jetzt die dritte Wurzel ziehe käme ich aber wieder auf 1..

dann mach ich mal weiter..
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich in dieser Form nun alle 3 Lösungen errechnen ? Stimmt das soweit eingesetzte?



phi hab ich so errechnet... phi =
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Betrag r stimmt jetzt, er ist in der Tat gleich 1, somit ist auch die 3. Wurzel gleich 1, ja.
Der Winkel ist jedoch falsch (a dividiert durch den Betrag ist NICHT der Winkel, sondern dessen Cosinus!)

Du musst also jenen Winkel bestimmen, dessen cos gleich und dessen sin gleich ist.
Achtung auf das Vorzeichen! In welchem Quadranten liegt der Winkel?
Du kannst auch den tan nehmen, wie schon angedeutet, der ist b/a und liefert natürlich auch denselben Winkel. Es ist allerdings immer auf den richtigen Quadranten zu achten.

mY+
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Die komplexe Zahl liegt im 2ten Quadranten, ich könnte einfach den Betrag von b/a nehmen( das wäre dann 1) und diesen von 180Grad abziehen. Ich hab Probleme dieses Bogenmaß zu verstehen...
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Also Zeichnerisch glaube ich zu bestimmen die komplexe Zahl liegt bei 135 grad = 3/4 pie...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, 135° oder (3/4) pi (bitte ohne ie!) ist richtig.
Wenn du mit tan (phi) = b/a rechnest, ist tan (phi) = 1 und der Winkel dazu ist arctan (-1), auf dem TR drückst du die INV-Taste bzw. tan^-1 und da zeigt das Ding eh schon 135°, das stimmt für den 2. Quadranten. Im 4. Quadranten müsstest du das dann von 360° abziehen, das wären 315°, das zeigt der TR nämlich nicht an.

Wie geht's jetzt weiter?

mY+
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Taschenrechner darf ich bei der Klausur nicht benutzen, ich muss mich also mit der Tabelle rumschlagen...

Ich setze jetzt also ein für die erste Lösung...



wird zu..



für





und





Ich weiß jetzt nicht wie ich das in Polarkoordinaten wandele/ weiter verrechne.
Ansonsten würd ich jetzt versuchen das als Antwort in die Exponentialform zu quetschen ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schreibst du eigentlich noch immer , du weisst, welchen Wert diese hat?
Jetzt musst du mir auch noch sagen, wie du auf die 11/4 und 19/4 kommst, denn das stimmt gar nicht.

Du kannst natürlich auch alle drei Lösungen zusammenfassen, entweder mit der trigonometrischen Zahlenpaarform oder der Polarform, sodass du nicht unbedingt alle einzeln angeben musst
(bei einer 12. Potenz z.B. wären das ja 12 Lösungen)



In der Exponentialform sieht das ähnlich aus



mY+
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Hab vergessen durch 3 zu teilen... bei z1 wäre das dann 11/12 pi und bei z2 19/12 pi , stimmt das?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt passt es.
Hast du das mit der Polar- /Exponentialform nun auch verstanden?

Und was ist ?

mY+
squarepants Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab Wurzel 1 immernoch geschrieben weil ich mir so alles besser veranschaulichen kann... muss man nicht verstehen.

Ich schau morgen noch mal drüber und schreib dann wieder bzg der Exponentialform, ich kann um die Uhrzeit nicht mehr denken. Ich hab warscheinlich auch am Wochenende noch Fragen zu Doppelintegral / Verschiebung der Grenzen und Differentialgleichungen erster Ordnung soll ich dann wieder jeweils ein neues thema eröffnen ?

Danke schonmal für die Hilfe soweit.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bitte unbedingt für neue Aufgaben bzw. Fragen auch ein neues Thema eröffnen!
Bitte auf das richtige Unterforum achten. Doppelintegrale sind normalerweise nicht Schulstoff, ich hoffe, du weisst, es gibt auch einen Hochschulbereich ..

Falls ein Thema falsch platziert sein sollte, wird es von der Moderation verschoben.
----------

Noch zur Polarform: Diese schreibt man einfach als

mY+
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