Eigenwerte von Kompositionen linearer Abbildungen

Neue Frage »

qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte von Kompositionen linearer Abbildungen
Guten Tag,
ich sitze an folgender Aufgabe:

Seien ein Körper, ein -Vektorraum, und . Wir definieren , (k-mal). Zeigen oder widerlegen Sie:

1.) Wenn den Eigenwert hat, hat den Eigenwert .
2.) Wenn den Eigenwert hat, hat den Eigenwert .
3.) Wenn den Eigenwert -1 hat, hat den Eigenwert 1.

Zu Aufgabe 1 sieht mein Beweis so aus:
Nach Voraussetzung gilt: mit . Damit erhalten wir
. Somit gilt und damit ist der Eigenwert von .

Bei Aufgabe 2 vermute ich, dass die Aussage falsch ist. Mein Ansatz ist:
Es gilt: . Also ist 1 der Eigenwert von und damit wäre die Aussage nur für wahr, aber nicht für alle aus .

Bei Aufgabe 3 fehlt mir leider der Ansatz. Ich habe zwar
, aber dann komme ich nicht weiter.

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand meine Lösungen kontrollieren und mir Ansätze geben könnte.
Viele Grüße
Alex
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte von Kompositionen linearer Abbildungen
1) ist richtig.
2) da hast du mit deiner Vermutung recht, dass es falsch ist. Aber die Folgerung, dass ist, ist falsch.

3) Da stimmt schon die erste Annahme nicht. -1 ist Eigenwert heißt nicht, dass die Funktionen f plötzlichen Zahlen statt Vektoren liefern..
qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei Aufgabe 3 ist mir das gerade erst aufgefallen, das war so auch nicht gewollt. Es soll natürlich heißen: .
Wie müsste man dann bei Aufgabe 2 schlussfolgern? Oder gibt es ein Gegenbeispiel, an dem man das zeigen kann?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Für die 2) musst du ein Gegenbeispiel angeben. Bereits 2x2 Matrizen tun es (eigentlich sogar lineare Abbildungen auf den reellen Zahlen).

Und für die 3)
Wende doch noch einmal f auf die Gleichung an und sieh was passiert.
qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das geht natürlich wunderbar auf bei 3). Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Hast du jetzt auch ein Gegenbeispiel für die 2?
 
 
qwertz235 Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein, noch nicht. Aber ich setze mich da heute Abend noch mal dran.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »