Gruppentheorie: Ist das Produkt von zwei Elementen mit endlicher Ordnung wieder endlich?

Neue Frage »

telli Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie: Ist das Produkt von zwei Elementen mit endlicher Ordnung wieder endlich?
Meine Frage:
Hallo,

Gegeben sei eine Gruppe (G,*) ich möchte eine Aussage darüber machen, ob das Produkt von zwei Elementen g1 und g2 aus der Gruppe G, welche endlich sind wieder ein Element erzeugen dessen Ordnung endlich ist.

Meine Ideen:
Das scheint trivial zu sein, aber irgendwie kann ich das nicht begründen.
Da man verlangt dass g1 und g2 endlich sein sollen, gilt:

(g1)^n = 1 und (g2)^m = 1

wobei n und m natürliche Zahlen grösser 0 sind. 1 ist dabei das neutrale Element.
Ich möchte nun zeigen, dass:

(g1*g2)^p = 1 bzw. (g2*g1)^p gilt zwar für ein p kleiner unendlich.

Ich komme ab hier nicht mehr weiter mache ich was falsch?

Danke
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppentheorie: Ist das Produkt von zwei Elementen mit endlicher Ordnung wieder endlich?
Google/Wiki helfen (ganz unten). Augenzwinkern
Complexi Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du dir denn sicher, dass die Aussage im Allgemeinen richtig ist? Für abelsche Gruppen ist sie immerhin sehr einfach zu beweisen. Sind aber dreidimensionale Rotationen um einen Winkel , um verschiedene Drehachsen nicht ein Gegenbeispiel? (Gerade keine Zeit, nachzurechnen).
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bist du dir denn sicher, dass die Aussage im Allgemeinen richtig ist? Für abelsche Gruppen ist sie immerhin sehr einfach zu beweisen.


Die Aussage sollte eigentlich für abelsche Gruppen gelten, ob sie dann allgemein gültig ist, ist die Bonusfragesmile

Zitat:
Google/Wiki helfen (ganz unten). Augenzwinkern


Das sehe ich mir mal genauer an.
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Also laut Wiki:

"In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes gh ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von g und h. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich"

Das ist schon was ich brauche, aber ohne den Beweis hilft es mir auch nicht weiter.
Wie kann ich zeigen, dass die Ordnung des Produktes ein Teiler von kgV(#g,#h) ist?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das oben richtig verstanden habe, dann willst du nur zeigen, dass in abelschen Gruppen die Ordnung von zwei Elementen endlicher Ordnung wieder endlich ist, aber nicht, dass das dann ein ein Teiler des kgV ist, oder?

Dazu betrachte mal (wobei ist). Das kannst du jetzt mithilfe der Kommutativität anders schreiben und so zeigen, dass dieses Produkt gleich 1 ist.
Damit hättest du dann gezeigt, dass ist.
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
habe das hier mitverfolgt, und ich verstehe dein problem nicht.
Wenn du in einer gruppe 2 elemente miteinander verknüpfst, ist das ergebnis
immer auch ein element aus der gruppe, und für jedes element einer endlichen
gruppe gillt, das die ordnung teiler der gruppenordnung sein muss, das heisst
bei einer gruppe mit der ordnung n muss spätestens bei g^n=1 gelten,
da brauch man doch nichts zusätzliches zu beweisen.
gruss ollie3
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ollie3
und für jedes element einer endlichen gruppe gillt

Wir wissen doch aber gar nicht, ob die Gruppe endlich ist oder nicht. verwirrt
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich das oben richtig verstanden habe, dann willst du nur zeigen, dass in abelschen Gruppen die Ordnung von zwei Elementen endlicher Ordnung wieder endlich ist,


Genau, das wollte ich zeigen.

Also ich fahre mit deinem Tipp fort:






Wo genau habe ich hier die Kommutativität benutzt? 2. Zeile etwa?

Zitat:
Damit hättest du dann gezeigt, dass ist.

Wieso dass und nicht dass ist?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von telli
Wo genau habe ich hier die Kommutativität benutzt? 2. Zeile etwa?

Nein, gleich in der ersten Zeile.
Erstmal gilt ja .
Nur, wenn man weiß, dass die Gruppe kommutativ ist, kann man das umformen zu .

Zitat:
Original von telli
Wieso dass und nicht dass ist?

Es könnte doch sein, dass es noch eine Zahl gibt mit .
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh.. alles klar! Alles verstanden! Vielen Dank!

Hier Bier für alle
Prost Prost Prost
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
Und: Prost. Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1

Zitat:
Original von telli
Wieso dass und nicht dass ist?

Es könnte doch sein, dass es noch eine Zahl gibt mit .


Es reicht , da und .
Complexi Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert eigentlich, wenn ein Element ergibt, das eine andere Ordnung als oder hat? Muss der Zusammenhang mit dem kgV dann immer noch gelten? Wahrscheinlich ja, aber warum?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sogar der Regelfall, dass eine andere Ordnung als und hat.

Edit: Den Rest habe ich gelöscht, weil er schlichtweg falsch war. Es ist nicht so, dass mit und . Die Zahl ist nur die, für die auf alle Fälle gilt. Es gilt aber generell .
Complexi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! Ich gehe mal wieder zu in abelschen Gruppen zurück. Es gibt nämlich auch Spezialfälle:
z.B. , . Dann ist ein Element der Ordnung . Warum ist es nun undenkbar, dass sich statt ein Element ergibt, dessen Ordnung überhaupt nicht mit der von oder verknüpft ist?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Guck dir die Revision meines vorigen Posts an. Da war ich vorher auf dem Holzweg Augenzwinkern . Das, was ich als Verbesserung geschrieben habe, ist wohl das einzige, was man über die Beziehung der Ordnungen aussagen kann. Es gilt ja beispielsweise
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »