Beweis im Vektorraum

17.01.2015, 20:13

NichtEingeloggter

Beweis im Vektorraum

Also, es geht um folgendes:

Gegeben ist die Menge:

$\begin{eqnarray*} W:=\left\{\sum\limits_{k=1}^n \alpha_{k}v_{k}: n\in \mathbb N \wedge \alpha_{1},...,\alpha_{n}\in K \wedge v_{1},...,v_{n}\in E \right\} \end{eqnarray*}$

Wobei V ein K-Vektorraum, K ein Körper und E eine Teilmenge von V ist.

Ich will nun zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} u,v\in W \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} u+ v\in W \end{eqnarray*}$
Ich habe dass etwa so versucht:

$\begin{eqnarray*} u+ v = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_{k}u_{k} +\sum\limits_{k=1}^m \beta_{k}v_{k} <br /> = \alpha_{1}u_{1}+...+\alpha_{n}u_{n}+\beta_{1}v_{1}+...+\beta_{m}v_{m} \end{eqnarray*}$

und dann folgendes gemacht, wo ich mir nicht vollkommen sicher bin, ob das so erlaubt ist:

$\begin{eqnarray*} \alpha_{n+1}:=\beta_{1} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \alpha_{n+m}:=\beta_{m} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} u_{n+1}:=v_{1} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} u_{n+m}:=v_{m} \end{eqnarray*}$

Wodurch man erhält:

[latex]
\alpha_{1}u_{1}+...+\alpha_{n}u_{n}+\beta_{1}v_{1}+...+\beta_{m}v_{m} =
\alpha_{1}u_{1}+...+\alpha_{n}u_{n}+\alpha_{n+1}u_{n+1}+...+\alpha_{n+m}u_{n+m}= \sum\limits_{k=1}^{n+m} \alpha_{k}u_{k} [latex]

Woraus dann offensichtlich die Behauptung folgen würde.
Ist das so in Ordnung?

17.01.2015, 20:16

NichtEingeloggter

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RE: Ist das legitim?
Latex-Code korrigiert:

$\begin{eqnarray*} <br /> \alpha_{1}u_{1}+...+\alpha_{n}u_{n}+\beta_{1}v_{1}+...+\beta_{m}v_{m} =<br /> \alpha_{1}u_{1}+...+\alpha_{n}u_{n}+\alpha_{n+1}u_{n+1}+...+\alpha_{n+m}u_{n+m}= \sum\limits_{k=1}^{n+m} \alpha_{k}u_{k} \end{eqnarray*}$

17.01.2015, 20:20

10001000Nick1

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Sieht gut aus. Freude

Zitat:

Original von NichtEingeloggter
und dann folgendes gemacht, wo ich mir nicht vollkommen sicher bin, ob das so erlaubt ist:

Warum sollte das nicht erlaubt sein? Du hast doch nur ein paar Vektoren definiert; und irgendwas zu definieren kann dir wohl niemand verbieten. Augenzwinkern

17.01.2015, 23:24

RavenOnJ

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RE: Ist das legitim?
Ich bin mir bei deiner Definition von $\begin{align*} W \end{align*}$ nicht klar, ob n jeden beliebigen Wert in der Menge $\begin{align*} W \end{align*}$ annehmen oder nur einen bestimmten mit bestimmten $\begin{align*} v_i \end{align*}$ . Wenn letzteres, dann ist $\begin{align*} W \end{align*}$ einfach ein span, d.h. ein bestimmter Untervektorraum von $\begin{align*} V \end{align*}$ . Da $\begin{align*} E \end{align*}$ aber anscheinend eine bestimmte Teilmenge von $\begin{align*} V \end{align*}$ sein soll, ist $\begin{align*} W \end{align*}$ auf alle Fälle ein UVR von $\begin{align*} V \end{align*}$ .

18.01.2015, 01:34

NichtEingeloggter

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RE: Ist das legitim?

Zitat:

Original von RavenOnJ
Ich bin mir bei deiner Definition von $\begin{align*} W \end{align*}$ nicht klar, ob n jeden beliebigen Wert in der Menge $\begin{align*} W \end{align*}$ annehmen oder nur einen bestimmten mit bestimmten $\begin{align*} v_i \end{align*}$ . Wenn letzteres, dann ist $\begin{align*} W \end{align*}$ einfach ein span, d.h. ein bestimmter Untervektorraum von $\begin{align*} V \end{align*}$ . Da $\begin{align*} E \end{align*}$ aber anscheinend eine bestimmte Teilmenge von $\begin{align*} V \end{align*}$ sein soll, ist $\begin{align*} W \end{align*}$ auf alle Fälle ein UVR von $\begin{align*} V \end{align*}$ .

n kann ein beliebiges Element der Menge der natürlichen Zahlen sein, E ist eine beliebige Teilmenge von V und V ist ein K-Vektorraum.
Zu jedem Element von W hat man ein n aus der Menge der natürlichen Zahlen mit v1,...,vn aus E und mit a1,...,an aus K.

Dass W ein UVR von V ist wollte ich ja gerade mit dem obrigen Beweis zeigen (als Teil eines Beweises, dass spanE = W ist).
(Dass $\begin{eqnarray*} W\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und dass aus $\begin{eqnarray*} u,v \in W \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} u\cdot v \in W \end{eqnarray*}$ hatte ich schon bewiesen.)

18.01.2015, 01:44

NichtEingeloggter

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RE: Ist das legitim?
Achja, und in der obrigen Definition habe ich vergessen, V zu erwähnen.
Zur Vollständigkeit halber hier nochmal:

$\begin{eqnarray*} W:=\left\{\sum\limits_{k=1}^n \alpha_{k}v_{k}\in V: n\in \mathbb N \wedge \alpha_{1},...,\alpha_{n}\in K \wedge v_{1},...,v_{n}\in E \right\} \end{eqnarray*}$

18.01.2015, 09:14

RavenOnJ

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RE: Ist das legitim?
Aber dann kannst du doch ohne Klimmzüge mit den $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ einfach alle $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ in die Summe bringen, nur dass fast alle $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ dann 0 sind. Selbst wenn $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ eine nicht abzählbare Familie ist, kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{v_i\in E}\alpha_i v_i\small\text{, wobei nur endlich viele $\alpha_i\not=0$} \end{eqnarray*}$

Es lässt sich dann auch viel stringenter die Summe zweier Elemente aus $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} u+w=\sum\limits_{v_i\in E}\alpha_i v_i + \sum\limits_{v_i\in E}\beta_i v_i =\sum\limits_{v_i\in E}(\alpha_i+\beta_i) v_i \end{eqnarray*}$

Da sowohl in $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ wie auch in $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Koeffizienten ungleich null, ist dies auch in der Summe der beiden so.

18.01.2015, 10:39

NichtEingeloggter

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RE: Ist das legitim?
Edit (mY+): Vollzitat entfernt, das ist unnötig. Anstatt auf den Zitat-Button zu klicken geht auch einfach antworten.

So geht das natürlich auch und einfacher, danke smile

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