Vektorraum Beweis

21.01.2015, 12:58

GingerNinja

Vektorraum Beweis

Meine Frage:
Hallo smile

Ich bin gerade an meiner Klausurvorbereitung für Lineare Algebra 1.

Mir wird folgende Aufgabe gestellt:

Entscheiden Sie, ob ein Modell eines reellen Vektorraumes vorliegt:

Menge aller Nullfolgen reeller Zahlen bzgl. (an)+(bn)=(an+bn) und µ(an)=(µan) mit µ aus den reellen Zahlen.

Meine Ideen:
So, ich habe die Aufgabe bearbeitet, indem ich alle Vektorraumaxiome überprüft habe und bin dazu gekommen, dass es sich um einen Vektorraum handelt.

Das Nachprüfen der Axiome dauert aber immer sehr lange, deshalb hatte ich die Idee, dass die oben definierte Menge ja eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Und da die reellen Zahlen selbst ein Vektorraum sind, könnte ich bei der gegebenen Menge ja nur noch die Untervektorraumkriterien nachweisen.

Ist das legitim oder habe ich hier einen Denkfehler? Und wenn ja, wie schreibe ich das formal auf? Müsste ich dann erst wieder beweisen, dass die reellen Zahlen ein Unterraum sind?

Vielen Dank für eure Hilfe!

21.01.2015, 13:07

klarsoweit

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RE: Vektorraum Beweis

Zitat:

Original von GingerNinja
Das Nachprüfen der Axiome dauert aber immer sehr lange, deshalb hatte ich die Idee, dass die oben definierte Menge ja eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Da bist du im Irrtum. Dein Vektorraum ist der Raum aller Nullfolgen reeller Zahlen. Das hat mit den reellen Zahlen nur was am Rande zu tun, nämlich insofern, daß die Folgenglieder reelle Zahlen sind. smile

21.01.2015, 17:48

Elvis

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Die Menge aller reellen Nullfolgen ist eine Teilmenge aller reellen Folgen. Wenn man weiß, dass dies ein reeller Vektorraum sind, kann man das UVR-Kriterium benutzen. Wenn nicht, kann man es schnell beweisen und dann das UVR-Kriterium benutzen.

22.01.2015, 11:24

Elvis

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Keiner fragt, Elvis antwortet. Augenzwinkern

Für jede Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und jeden Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} Abb(M,K)=K^M \end{eqnarray*}$ , die Menge aller Abbildungen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Die Vektorraumoperationen werden dabei punktweise definiert. Dieser Satz ist häufig nützlich, um Vektorräume durch das UVR-Kriterium nachzuweisen, wodurch man sich den Nachweis aller VR-Axiome erspart.

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