Lipschitz-Stetigkeit beweisen

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Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetigkeit beweisen
Hallo Matheprofis,

ich benötige eure tatkräftige Unterstüzung bei einer weiteren Aufgabe bitte.

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a) Beweisen Sie, dass eine Funktion Lipschitz-stetig ist, d.h.

.

b) Geben Sie ein Beispiel für eine nicht-konstante diff'bare Funktion an, die ein nicht-isoliertes lokales Extremum besitzt. Begründen Sie ihre Antwort.

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Zu a) hilft da mir der Mittelwertsatz weiter? Wenn ja wie setzte ich den da Sinnvoll ein?

Zu b) wäre vielleicht eine nicht diff'bare Funktion mit nicht-isolierten lokalen Extremum oder? Wenn ja, wie kann ich das jetzt begründen?

Extrema einfach ausrechnen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
.


So herum bitte:


.

Zitat:
Zu a) hilft da mir der Mittelwertsatz weiter? Wenn ja wie setzte ich den da Sinnvoll ein?


Ja genau. Was ist denn die Aussage und wie steht diese mit einer Gleichung in Zusammenhang, die so aussieht: ?

Zitat:
Zu b) wäre vielleicht eine nicht diff'bare Funktion mit nicht-isolierten lokalen Extremum oder? Wenn ja, wie kann ich das jetzt begründen?


Was soll sein, wenn

Außerdem steht in der Aufgabe nicht konstant und diffbar. Du hast daraus nicht diffbar gemacht. Was sollst du denn nun zeigen?
Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »

Na der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist dieser hier:



Wenn ich mit (b-a) multipliziere kommt dieser Ausdruck:



Und das sieht doch schon dem gegebenen Ähnlich.



Mit dem Unterschied das noch mit f(x) multipliziert wird und deshalb es eine Gleichung und keine Ungleichung ist. D.h. wenn ich f(x) "entferne" und durch "L" ersetze bin ich am Ziel angekommen?

-------

Ich soll eine Funktion finden, die nicht-Konstant ist (also z.B. nicht f(x) = 3) und diff'bar ist. Außerdem soll sie ein nicht-isoliertes lokales Extremum aufweisen. D.h. ich müsste erstmal wissen was ein Extremum zu einen "nicht-isolierten lokalen" Extremum macht bzw. wie es definiet ist.

Daran könnte ich dann eine Funktion entwickeln oder?
sammmm Auf diesen Beitrag antworten »




f' ist nach Angabe stetig und wir "arbeiten" auf einem kompakten intervall.

Frage hat f' ein Maximum auf dem kompakten Intervall???
Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, f' hat ein Maximum auf dem kompakten Intervall, denn wenn es im kompakten Intervall stetig ist, kann es zumindest nicht ausgeschlossen werden. Oder nicht?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe den letzten Beitrag nicht. Was denn nun?

Zitat:

Na der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist dieser hier:




Den schlägst du bitte noch einmal nach. Eine einzige (falsche) Gleichung macht noch keinen Satz!
 
 
sammmm Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shinobi.Master
Ja, f' hat ein Maximum auf dem kompakten Intervall, denn wenn es im kompakten Intervall stetig ist, kann es zumindest nicht ausgeschlossen werden. Oder nicht?


was sagt der Satz vom Minimum und Maximum!!
Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wikipedia

Eine reellwertige Funktion, die auf einer kompakten Teilmenge von (die damit abgeschlossen und beschränkt ist) stetig ist, ist beschränkt und nimmt ihre obere und ihre untere Grenze an. Für reelle Funktionen lässt sich das wie folgt umformulieren: Ist stetig, so gibt es Stellen , so dass

für alle

gilt.


Das heißt, da es ein kompaktes Intervall und stetig ist sind die Intervallgrenzen die Punkte für Minimum und Maximum.

Zitat:
Wikipedia

Es sei eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a < b) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein , so dass



gilt.

Geometrisch gedeutet bedeutet dies, dass die Sekantensteigung an mindestens einer Zwischenstelle als Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion auftritt.


Inwiefern hilft mir aber diese Aussage?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst bloß noch beides kombinieren. Ich gebe noch den Tipp, dass das f aus dem Satz vom Maximum hier unser f' ist. Mehr kann und will ich zu dieser Aufgabe vorerst nicht sagen. Du bist am Zug.
Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

in :




Ist schon zu viel des guten oder? Besser so:



Wie komm ich jetzt dahin:



Mit (x-y) multiplizieren?



Und aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt dann:

?

Da fehlt noch ein Schritt oder?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier sieht schon ok aus.





Kannst du damit nicht auch eine Abschätzung für den Betrag des inneren Ausdrucks erhalten?
Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau meinst du mit Abschätzung?



Das bedeutet doch nur, das der Wert irgendwo zwischen dem Maximum und Minimum liegen muss oder nicht? Oder etwa zwischen der Steigung vom Maximum und Minimum?
Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Betrag von

ist dann ein Wert der niemals größer als das Maximum bzw. kleiner als das Minimum seien kann.

Aber wie hilft mir das jetzt weiter um nach dahin



umzuformen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Das ist doch eine Abschätzung für den Ausdruck in der Mitte, die besagt, dass dieser Ausdruck sich nur in bestimmten Grenzen bewegen kann. Damit musst du doch auch etwas über dessen Betrag aussagen können. Wenn nicht, mal dir die Situation auf einer Zahlengerade auf.
Shinobi.Master Auf diesen Beitrag antworten »

--+-----------*---------#----------?-----------$---------%--------------------------------------------§--

+ f'(t) ; *

# f(y) ; ? y ; $ f(x)

% x ; § f'(h)

So hab ich mir das gedacht.
Am Anfang steht f'(t) und am Ende f'(h).
Dazwischen liegen dann *, f(y), y, f(x), x in dieser Reihenfolge.

Wenn man Betrag betrachtet, dann betrachtet man doch einen Abstand zu etwas meistens. Ist hier etwa der relative Abstand zwischen den Werten und den Funktionswerten gemeint?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß leider nicht, was du mit dem Zeichensalat meinst smile


Du hast hier drei Werte und .

Es gilt für alle . Jetzt musst du doch eine Abschätzung für sehen, die für alle gültig ist.
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