Was ist an dem folgenden Integral falsch?

21.01.2015, 16:32

_deZIbel_

Was ist an dem folgenden Integral falsch?

Meine Frage:
Tagchen,

ich versteh nicht was die meinen an folgender Rechnung soll was falsch sein...

$\begin{eqnarray*} _{[-1,2]}\int\frac{1}{x^{2} } \, dx = \left[\frac{-1}{x} \right]_{-1}^{2} = -0.5-1 = -1.5 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Liegt es daran, dass die Funktion nach oben nicht begrenzt ist...die Fläche wäre doch unendlich groß, oder?

21.01.2015, 16:37

IfindU

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RE: Was ist an der folgenden Berechnung Falsch -1?2 1/x^2 dx = -1,5
Der klassiche Hauptsatz der Integralrechnung (aka Grenzen in eine 'Stammfunktion' setzen) benötigt die Stetigkeit des Integranden.

21.01.2015, 16:51

HAL 9000

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Eigentlich müsste es dich doch stutzig machen, wie das bestimmte Integral einer strikt positiven Funktion plötzlich negativ werden soll. unglücklich

Die Stammfunktion $\begin{align*} \frac{-1}{x} \end{align*}$ ist nur jeweils getrennt auf den Intervallen $\begin{align*} (-\infty,0) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} (0,\infty) \end{align*}$ gültig. Über eine Polstelle wie bei x=0 einfach "drüberweg" integrieren ist ein absolutes NOGO. geschockt

D.h., als Riemannintegral existiert das genannte Integral überhaupt nicht.

Man könnte noch versuchen, ob es als uneigentliches Riemann-Integral existiert, indem man die beiden Teilintegrale

$\begin{align*} \int\limits_{-1}^0 \frac{1}{x^2} ~ \dd x \end{align*}$ und $\begin{align*} \int\limits_0^2 \frac{1}{x^2} ~ \dd x \end{align*}$

getrennt auf ihre Existenz untersucht: Beide ergeben hier $\begin{align*} \infty \end{align*}$ , in der Summe also auch $\begin{align*} \infty \end{align*}$ .

21.01.2015, 20:05

Leopold

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RE: Was ist an der folgenden Berechnung Falsch -1?2 1/x^2 dx = -1,5

Zitat:

Original von IfindU
Der klassiche Hauptsatz der Integralrechnung (aka Grenzen in eine 'Stammfunktion' setzen) benötigt die Stetigkeit des Integranden.

Ich glaube, das trifft den Kern der Sache nicht. Schließlich ist der Integrand ja stetig. Die Problematik liegt doch eher in der Definitionslücke des Integranden (Näheres siehe HAL 9000).

21.01.2015, 20:24

IfindU

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RE: Was ist an der folgenden Berechnung Falsch -1?2 1/x^2 dx = -1,5
Nunja, es gibt keine stetige Funktion auf [-1,2] s.d. $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 {x^2} \end{eqnarray*}$ f.ü -- in meinen Augen ist der Integrand nicht stetig, selbst in einem etwas schwächerem Sinne.
Gäbe es das, so wäre die Aussage offensichtlich richtig.

Die 0 zu ignorieren wirkt für mich sehr willkürlich.

21.01.2015, 20:28

wopi

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Das Problem liegt wohl darin, dass der Integrand für den Hauptsatz über einem abgeschlossen Intervall stetig sein muss!

21.01.2015, 22:14

Widderchen

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Betrachtet man den Cauchy-Hauptwert dieses Integrales, welches auf dem rellen Intervall [-2;1] betrachtet wird, dann ist diese Integral nicht mehr unbestimmt divergent, sondern tatsächlich wohldefiniert. Auf einem symmetrischen Intervall wäre der Cauchy-Hauptwert dieses Integrals sogar Null.

Widderchen

21.01.2015, 23:08

Jayk

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Zitat:

Original von wopi
Das Problem liegt wohl darin, dass der Integrand für den Hauptsatz über einem abgeschlossen Intervall stetig sein muss!

Wer sagt das?

Königsberger Analysis 1:

Es sei $\begin{eqnarray*} f: I \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ eine Regelfunktion auf einem Intervall I. Ein Punkt $\begin{eqnarray*} a \in I \end{eqnarray*}$ sei fest gewählt, und für $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ setze man

$\begin{eqnarray*} F(x) := \int_a^x f(t)\,\dd t \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:

(i): F ist eine Stammfunktion zu f auf I; genauer: $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist an jeder Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \in I \end{eqnarray*}$ sowohl linksseitig als auch rechtsseitig differenzierbar mit

$\begin{eqnarray*} F_-' (x_0) = f_- (x_0), \quad F_+'(x_0) = f_+ (x_0); \end{eqnarray*}$

insbesondere ist F an jeder Stetigkeitsstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ von f differenzierbar mit

$\begin{eqnarray*} F'(x_0) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

(ii) Mit einer beliebigen Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ zu f auf I gilt für $\begin{eqnarray*} a, b \in I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(t)\,\dd t = \Phi (b) - \Phi (a) =: \Phi \vert_a^b \end{eqnarray*}$ .

22.01.2015, 06:56

Leopold

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RE: Was ist an der folgenden Berechnung Falsch -1?2 1/x^2 dx = -1,5

Zitat:

Original von IfindU
in meinen Augen ist der Integrand nicht stetig, selbst in einem etwas schwächerem Sinne.

Stetigkeit ist eine Eigenschaft, die sich auf Definitionsstellen (lokale Stetigkeit) oder den Definitionsbereich (globale Stetigkeit) einer Funktion bezieht. Wo eine Funktion nicht definiert ist, kann sie weder stetig noch unstetig sein. Über ein nicht vorliegendes Dreieck kann man auch nicht urteilen, ob es rechtwinklig ist oder nicht.

22.01.2015, 09:49

IfindU

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RE: Was ist an der folgenden Berechnung Falsch -1?2 1/x^2 dx = -1,5
In dem Sinne ändere ich meine Argumentation und sage, dass das Integral einer Funktion f über eine Menge M nur dann Sinn macht, wenn f überall auf M definiert.

Ansonsten definiere ich eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(\mathbb Q) = \{1\} \end{eqnarray*}$ und frage nach dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_{[-1,1]} f(x) \text{d} x \end{eqnarray*}$ . Nach dem "Hauptsatz wäre offensichtlich $\begin{eqnarray*} F(x) = x \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion und das Integral damit eindeutig 2.

22.01.2015, 16:20

Leopold

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RE: Was ist an der folgenden Berechnung Falsch -1?2 1/x^2 dx = -1,5

Zitat:

Original von IfindU
In dem Sinne ändere ich meine Argumentation und sage, dass das Integral einer Funktion f über eine Menge M nur dann Sinn macht, wenn f überall auf M definiert.

Es gibt durchaus Integralbegriffe, die Definitionslücken gestatten, z.B. uneigentliche Riemannsche Integrale.

Zitat:

Original von IfindU
Ansonsten definiere ich eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(\mathbb Q) = \{1\} \end{eqnarray*}$ und frage nach dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_{[-1,1]} f(x) \text{d} x \end{eqnarray*}$ . Nach dem "Hauptsatz wäre offensichtlich $\begin{eqnarray*} F(x) = x \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion und das Integral damit eindeutig 2.

Was du damit sagen willst, verstehe ich nun gar nicht. Wozu gehört dieses $\begin{align*} f \end{align*}$ ? Hat das noch etwas mit der von _deZIbel_ gestellten Aufgabe zu tun? Und wie ist $\begin{align*} f \end{align*}$ auf den irrationalen Zahlen definiert? Wenn $\begin{align*} F(x)=x \end{align*}$ eine Stammfunktion ist, dann ist jedenfalls $\begin{align*} f(x)=1 \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ . verwirrt

22.01.2015, 17:11

IfindU

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Glaub mir, ich frage mich schon seit geraumer Weile, warum meine Aussage "Die Anwendung eines Satzes, ohne die Voraussetzungen dafür zu haben, kann Stuss liefern" von dir diskutiert wird.

Sei es so wie ich es interpretiert habe, dass man die Funktion nicht stetig auf dem Intervall [-1,2] haben kann -- oder die Funktion stetig auf einer Menge, die kein Intervall mehr ist (ja, die Funktion ist natürlich stetig, wenn man die 0 weglässt, aber dann wars das mit dem Zusammenhang).

22.01.2015, 17:39

Leopold

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Zitat:

Original von IfindU
Glaub mir, ich frage mich schon seit geraumer Weile, warum meine Aussage "Die Anwendung eines Satzes, ohne die Voraussetzungen dafür zu haben, kann Stuss liefern" von dir diskutiert wird.

Damit bin ich ja auch einverstanden. Nur höre ich diesen Satz zum ersten Mal. Das Problem bei der Aufgabe war jedoch die Nichtkonvergenz beim Integrieren über die Definitionslücke und nicht ein irgendwie geartetes Problem mit der Stetigkeit. Nur darum ging es mir.

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